Реши задачи по геометрии для 8 класса: найди углы в четырехугольнике, основания равнобокой трапеции, стороны параллелограмма и диагонали прямоугольника.

1. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Значит, $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Подставим известные значения: $21^\circ + ? + 110^\circ + ? = 360^\circ$. \\Допущение: на рисунке углы при вершинах B и D - это углы четырехугольника. Тогда: \\$\angle B = 360^\circ - 21^\circ - 110^\circ - \angle D = 229^\circ - \angle D$. К сожалению, без дополнительной информации (например, значения одного из неизвестных углов или соотношения между ними) мы не можем найти точные значения $\angle B$ и $\angle D$. 2. Недостаточно данных для решения. Нужны дополнительные условия или значения углов/сторон. 3. Пусть большее основание равно $x$. Тогда $x = 3 + 11 = 14$ см. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 3 см и 11 см. Так как трапеция равнобокая, то меньшее основание равно $14 - 2 \cdot 3 = 8$ см. **Ответ: 14 см и 8 см**. 4. В равнобокой трапеции углы при основании равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Значит, тупой угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. \\Пусть большее основание равно $b$, а меньшее основание равно $a$. Сумма оснований равна 38 см, то есть $a + b = 38$. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Каждый из прямоугольных треугольников имеет угол $60^\circ$ и гипотенузу 16 см (боковая сторона трапеции). Тогда катет, прилежащий к углу $60^\circ$, равен половине гипотенузы, то есть 8 см. Следовательно, $b = a + 2 \cdot 8$, откуда $b = a + 16$. Подставим это в уравнение $a + b = 38$: $a + a + 16 = 38$, $2a = 22$, $a = 11$ см. Тогда $b = 38 - 11 = 27$ см. **Ответ: 11 см и 27 см**. 5. Пусть $AB = x$, тогда $BC = x - 4$. Периметр параллелограмма равен $2(AB + BC) = 40$ см. Подставим известные значения: $2(x + x - 4) = 40$ $2x - 4 = 20$ $2x = 24$ $x = 12$ см. Значит, $AB = 12$ см, $BC = 12 - 4 = 8$ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 12$ см, $AD = BC = 8$ см. **Ответ: 12 см, 8 см, 12 см, 8 см**. 6. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $\triangle AOD$ - равнобедренный, и $\angle OAD = \angle ODA$. Дано, что $\angle CAD = 30^\circ$. Значит, $\angle OAD = \angle CAD = 30^\circ$. Тогда $\angle AOD = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим $\triangle CAD$. В нем $\angle ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. $CD = 4$ см (дано). $AD = 6$ см (дано). По теореме Пифагора, $AC^2 = AD^2 + CD^2$. $AC^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$. $AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см. Так как диагонали прямоугольника равны, то $BD = AC = 2\sqrt{13}$ см. **Ответ: $2\sqrt{13}$ см**.