Реши контрольную работу по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»

Решаю твою контрольную работу по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни». 1. Вычислите: a) $\sqrt[1]{\frac{63}{81}} = \sqrt[1]{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ б) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ в) $\frac{\sqrt{450}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{450}{2}} = \sqrt{225} = 15$ г) $4 \cdot \sqrt{0.64} = 4 \cdot 0.8 = 3.2$ д) $\sqrt{(-7)^4} = (-7)^2 = 49$ 2. Внесите множитель под знак корня: a) $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ б) $-5\sqrt{\frac{3}{5}} = -\sqrt{5^2 \cdot \frac{3}{5}} = -\sqrt{5 \cdot 3} = -\sqrt{15}$ в) $\frac{1}{4}\sqrt{48} = \sqrt{\frac{1}{4^2} \cdot 48} = \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 48} = \sqrt{3}$ 3. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите выражение: a) $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8} = \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (5 - 3 + 2)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ б) $2\sqrt{27} + 4\sqrt{48} - \frac{1}{5}\sqrt{75} - 9\sqrt{3} = 2\sqrt{9 \cdot 3} + 4\sqrt{16 \cdot 3} - \frac{1}{5}\sqrt{25 \cdot 3} - 9\sqrt{3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} + 4 \cdot 4\sqrt{3} - \frac{1}{5} \cdot 5\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 16\sqrt{3} - \sqrt{3} - 9\sqrt{3} = (6 + 16 - 1 - 9)\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ 4. Сравните значения выражений: a) $2\sqrt{42}$ и $9\sqrt{2}$. Возведём оба выражения в квадрат: $(2\sqrt{42})^2 = 4 \cdot 42 = 168$ и $(9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$. Так как $168 > 162$, то $2\sqrt{42} > 9\sqrt{2}$. б) $8\sqrt{\frac{3}{4}}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{405}$. Упростим: $8\sqrt{\frac{3}{4}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{405} = \frac{1}{3}\sqrt{81 \cdot 5} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. Возведём в квадрат: $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ и $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$. Так как $48 > 45$, то $8\sqrt{\frac{3}{4}} > \frac{1}{3}\sqrt{405}$. 5. Вычислите: a) $(\sqrt{11} - 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} + \sqrt{11}) = (\sqrt{11} - 2\sqrt{2})(\sqrt{11} + 2\sqrt{2}) = (\sqrt{11})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 11 - 4 \cdot 2 = 11 - 8 = 3$ б) $(3\sqrt{2} + 2)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2 + 2^2 = 9 \cdot 2 + 12\sqrt{2} + 4 = 18 + 12\sqrt{2} + 4 = 22 + 12\sqrt{2}$ в) $(3\sqrt{2} - 2)(4\sqrt{2} + 7) - 13\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 7 - 2 \cdot 4\sqrt{2} - 2 \cdot 7 - 13\sqrt{2} = 12 \cdot 2 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 14 - 13\sqrt{2} = 24 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 14 - 13\sqrt{2} = (24 - 14) + (21 - 8 - 13)\sqrt{2} = 10 + 0\sqrt{2} = 10$ 6. Сократите дробь: a) $\frac{3 - b^2}{\sqrt{3} + b} = \frac{(\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)}{\sqrt{3} + b} = \sqrt{3} - b$ б) $\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$