Реши задачи по геометрии из варианта 1: найди третью сторону треугольника и его площадь, сторону треугольника, определи, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, найди периметр треугольника, радиус окружности, медиану треугольника.

1. Пусть стороны треугольника $a = 4$ см, $b = 8$ см, а угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Тогда третью сторону $c$ можно найти по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$$$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot cos(60^\circ) = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$$ $$c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см}$$ Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$$$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ см}^2$$ **Ответ:** Третья сторона равна $4\sqrt{3}$ см, площадь равна $8\sqrt{3}$ см$^2$. 2. Пусть углы треугольника $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 135^\circ$, а сторона, лежащая против меньшего угла, $a = 4$ см. Тогда третий угол: $\gamma = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$. Сторону $b$, лежащую против большего из данных углов, можно найти по теореме синусов: $$\frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{b}{sin(\beta)}$$$$b = \frac{a \cdot sin(\beta)}{sin(\alpha)} = \frac{4 \cdot sin(135^\circ)}{sin(30^\circ)} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ см}$$ **Ответ:** Сторона равна $4\sqrt{2}$ см. 3. Чтобы определить тип треугольника, нужно проверить, выполняется ли неравенство треугольника и какой угол является наибольшим. Стороны: $a = 4$ см, $b = 5$ см, $c = 7$ см. Неравенство треугольника выполняется, так как $4 + 5 > 7$, $4 + 7 > 5$ и $5 + 7 > 4$. Теперь проверим, какой угол является наибольшим. Пусть угол $C$ лежит против стороны $c = 7$ см. По теореме косинусов: $$cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -0.2$$ Так как $cos(C) < 0$, угол $C$ является тупым. Следовательно, треугольник тупоугольный. **Ответ:** Треугольник тупоугольный. 4. Допущение: Одна сторона на 2 см больше *другой из этих двух сторон*, угол между ними равен 120 градусов, а третья сторона равна 7 см. Пусть $a$ и $b$ - две стороны треугольника, где $a = b + 2$, и угол между ними $\gamma = 120^\circ$. Третья сторона $c = 7$ см. По теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$$$7^2 = (b + 2)^2 + b^2 - 2(b + 2)b \cdot cos(120^\circ)$$$$49 = b^2 + 4b + 4 + b^2 - 2(b^2 + 2b) \cdot (-\frac{1}{2})$$$$49 = 2b^2 + 4b + 4 + b^2 + 2b$$ $$3b^2 + 6b - 45 = 0$$ $$b^2 + 2b - 15 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ $$b_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$ $$b_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$$ Так как сторона не может быть отрицательной, $b = 3$ см. Тогда $a = b + 2 = 3 + 2 = 5$ см. Периметр треугольника: $P = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15$ см. **Ответ:** Периметр треугольника равен 15 см. 5. Чтобы найти радиус вписанной окружности в треугольник со сторонами $a = 7$ см, $b = 15$ см, $c = 20$ см, сначала найдем полупериметр: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 15 + 20}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}$$ Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{21(21 - 7)(21 - 15)(21 - 20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{1764} = 42 \text{ см}^2$$ Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{42}{21} = 2 \text{ см}$$ **Ответ:** Радиус вписанной окружности равен 2 см. 6. Стороны треугольника: $a = 7$ см, $b = 11$ см, $c = 12$ см. Медиана, проведённая к большей стороне (12 см), равна: $$m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 121 - 144} = \frac{1}{2} \sqrt{98 + 242 - 144} = \frac{1}{2} \sqrt{196} = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \text{ см}$$ **Ответ:** Медиана равна 7 см.