Реши задачи по геометрии для 7 класса: 1) Дано: AO - медиана ΔABC, AO = OK, AB = 6,3 см, BC = 6,5 см, AC = 6,7 см. Найди: CK. 2) Дано: OH и ON - высоты ΔMOK и ΔEOF, OH = ON, EN = 7,8 см, OE = OK, HM = 6,3 см. Найди: MK. 3) В треугольниках ABC и KPM проведены биссектрисы BO и PE, причем ΔABO = ΔKPE, BC = PM. Найдите отрезок EM, если AC = 9 см, а EM больше KE на 3,8 см.

1) $AO$ – медиана $\triangle ABC$, $AO = OK$. Нужно найти $CK$. Допущение: $K$ - точка на прямой, проходящей через $AO$, а $O$ – середина $BC$. Так как $AO$ – медиана, то $BO = OC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6,5 = 3,25$ см. Так как $AO = OK$, то $O$ – середина $AK$, следовательно, $BC$ и $AK$ – диагонали четырехугольника $ABKC$, и они пересекаются и делятся пополам. Значит, $ABKC$ – параллелограмм, и $CK = AB = 6,3$ см. **Ответ: $CK = 6,3$ см.** 2) Дано: $OH$ и $ON$ – высоты $\triangle MOK$ и $\triangle EOF$, $OH = ON$, $EN = 7,8$ см, $OE = OK$, $HM = 6,3$ см. Найти: $MK$. Допущение: Треугольники $\triangle MOK$ и $\triangle EOF$ равны. Т.к. $OH = ON$, $OE = OK$, то $\triangle EON = \triangle HOK$ по двум катетам. Тогда $OK = OE = EN = 7.8$ см. $MK = HM + OK = 6.3 + 7.8 = 14.1$ см. **Ответ: $MK = 14.1$ см.** 3) В треугольниках $ABC$ и $KPM$ проведены биссектрисы $BO$ и $PE$, причем $\triangle ABO = \triangle KPE$, $BC = PM$. Найдите отрезок $EM$, если $AC = 9$ см, а $EM$ больше $KE$ на $3,8$ см. $\triangle ABO = \triangle KPE$, следовательно, $AB = KP$, $BO = PE$, $AO = KE$. Также дано $BC = PM$ и $AC = 9$. Т.к. $EM$ больше $KE$ на $3,8$ см, то $EM = KE + 3,8$. Допущение: требуется найти $AM$, а не $EM$. Т.к. $\triangle ABC = \triangle KPM$ по трем сторонам ($AB = KP$, $BC = PM$, $AC = KM$), то $AC = KM = 9$. $KM = KE + EM = KE + KE + 3,8 = 2KE + 3,8 = 9$, следовательно, $2KE = 9 - 3,8 = 5,2$, $KE = 2,6$. Тогда $EM = 2,6 + 3,8 = 6,4$. **Ответ: $EM = 6,4$ см.**