Реши уравнение: $3^{x-1} = 27^{x+1}$

1. Решим уравнение $3^{x-1} = 27^{x+1}$. Представим $27$ как $3^3$, тогда уравнение примет вид: $3^{x-1} = (3^3)^{x+1}$. $3^{x-1} = 3^{3(x+1)}$. Так как основания равны, приравниваем показатели: $x - 1 = 3(x + 1)$. $x - 1 = 3x + 3$. $x - 3x = 3 + 1$. $-2x = 4$. $x = -2$. **Ответ: $x = -2$** 2. Решим неравенство $3^{x-1} > 9$. Представим $9$ как $3^2$, тогда неравенство примет вид: $3^{x-1} > 3^2$. Так как основания больше 1, то можно перейти к сравнению показателей: $x - 1 > 2$. $x > 2 + 1$. $x > 3$. **Ответ: $x > 3$** 3. Решим уравнение $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0$. Пусть $y = 2^x$, тогда уравнение примет вид: $4y^2 - 5y + 1 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$. $y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$. $y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Вернёмся к замене: 1) $2^x = 1$. $2^x = 2^0$, следовательно, $x = 0$. 2) $2^x = \frac{1}{4}$. $2^x = 2^{-2}$, следовательно, $x = -2$. **Ответ: $x = 0$, $x = -2$**