Найди наименьшее значение квадратного трехчлена 9x² + 6x-5; построй график функции y = 1/2 x² - 2x - 6; найди все значения x, при которых функция принимает положительные значения; найди промежуток убывания функции; найди все значения n, при которых график функции y = 3x²-6x + n имеет 2 общие точки с осью абсцисс; укажи квадратный трехчлен, который имеет два одинаковых корня; определи график какой функции изображен на рисунке; сократите дробь x²+6x+8 / x²-4.

4. Чтобы найти наименьшее значение квадратного трехчлена $9x^2 + 6x - 5$, нужно найти вершину параболы. Координата $x$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 9$, $b = 6$, значит, $x_в = -\frac{6}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{3}$. Теперь найдем значение $y$ в этой точке: $y_в = 9 \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 6 \cdot (-\frac{1}{3}) - 5 = 9 \cdot \frac{1}{9} - 2 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$. **Ответ: -6** 5. Дана функция $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 6$. a) Чтобы построить график этой функции, найдем вершину параболы и несколько точек для построения. $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$. $y_в = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$. Вершина параболы $(2, -8)$. Теперь найдем несколько точек, например: $x = 0: y = -6$ $x = 4: y = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 8 - 6 = -6$ :::div .chart-container @chart-1::: б) Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$. Решим неравенство $\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6 = 0$ или $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$. Значит, функция положительна при $x < -2$ и $x > 6$. **Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (6, +\infty)$** в) Функция убывает до вершины параболы, то есть при $x < 2$. **Ответ: $x \in (-\infty, 2)$** 6. Дано: $y = 3x^2 - 6x + n$ имеет 2 общие точки с осью абсцисс. Это значит, что дискриминант равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$. В нашем случае $a = 3$, $b = -6$, $c = n$. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot n = 36 - 12n = 0$. $12n = 36$, значит, $n = 3$. **Ответ: n = 3** Вариант 3 1. Укажите квадратный трехчлен, который имеет два одинаковых корня. Два одинаковых корня имеет квадратный трехчлен, у которого дискриминант равен нулю. 1) $3x^2 - 13x - 14$. $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 169 + 168 = 337 \neq 0$ 2) $4x^2 - 20x + 25$. $D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0$. Значит, этот трехчлен имеет два одинаковых корня. **Ответ: 2) $4x^2 - 20x + 25$** 2. График какой функции изображен на рисунке? На рисунке парабола, ветви которой направлены вниз, значит, коэффициент при $x^2$ отрицательный. Также видно, что график проходит через точку $(0, 0)$. Подходит функция $y = -\frac{1}{2}x^2$. **Ответ: 3) $y = -\frac{1}{2}x^2$** 3. Сократите дробь $\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 4}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: $x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Тогда $\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 4} = \frac{(x + 2)(x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 4}{x - 2}$. **Ответ: 4) $\frac{x + 4}{x - 2}$**