Реши задачи по геометрии 9 класса: 1) Найди третью сторону и площадь треугольника, если две стороны 10 и 12 см, а угол между ними 120 градусов. 2) Найди сторону AB треугольника ABC, если AC = 5√2 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. 3) Определи, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 11 см. 4) Найди периметр треугольника, если одна сторона на 3 см меньше другой, угол между ними 60°, а третья сторона 7 см. 5) Найди радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см. 6) Найди медиану треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см, проведённую к меньшей стороне.

Решим задачи по геометрии для 9 класса. 1. Для нахождения третьей стороны треугольника и его площади, воспользуемся теоремой косинусов и формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними. Пусть $a = 10$ см, $b = 12$ см, $\gamma = 120^\circ$. Тогда третья сторона $c$ равна: $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)} = \sqrt{10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)} = \sqrt{100 + 144 - 240 \cdot (-0.5)} = \sqrt{244 + 120} = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19.08 \text{ см}$$ Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2$$ **Ответ:** Третья сторона $\approx 19.08$ см, площадь $\approx 51.96$ см$^2$. 2. Для нахождения стороны $AB$ треугольника $ABC$ используем теорему синусов: $$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$$ $$AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle B)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 5 \text{ см}$$ **Ответ:** $AB = 5$ см. 3. Чтобы определить тип треугольника со сторонами 6 см, 8 см и 11 см, сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон: $a = 6, b = 8, c = 11$ $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $c^2 = 11^2 = 121$ Так как $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный. **Ответ:** Треугольник тупоугольный. 4. Пусть одна сторона треугольника равна $x$, тогда другая равна $x + 3$. Угол между ними равен $60^\circ$, а третья сторона равна 7 см. Используем теорему косинусов для нахождения $x$: $$7^2 = x^2 + (x + 3)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 3) \cdot \cos(60^\circ)$$ $$49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - 2x(x + 3) \cdot 0.5$$ $$49 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x$$ $$x^2 + 3x - 40 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = -8 \text{ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)}$$ Итак, $x = 5$ см, тогда другая сторона $x + 3 = 8$ см. Периметр треугольника равен: $$P = 5 + 8 + 7 = 20 \text{ см}$$ **Ответ:** Периметр треугольника равен 20 см. 5. Недостаточно данных для решения. Длина одной из сторон (13 см) больше суммы длин двух других сторон (4 см + 5 см = 9 см). Такого треугольника не существует. Нужно проверить условие задачи и исправить длины сторон. 6. Для нахождения медианы треугольника, проведённой к меньшей стороне, воспользуемся формулой медианы: Пусть стороны треугольника $a = 4$ см, $b = 5$ см, $c = 7$ см. Медиана проведена к стороне $a$. Формула для медианы $m_a$: $$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 7^2 - 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{132} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{33} = \sqrt{33} \approx 5.74 \text{ см}$$ **Ответ:** Медиана, проведённая к меньшей стороне, $\approx 5.74$ см.