Реши контрольную работу по алгебре: уравнения, биквадратные и дробные рациональные уравнения.

Решаю твою контрольную. a) $x^3 - 25x = 0$ Выносим $x$ за скобки: $x(x^2 - 25) = 0$ Теперь у нас есть два случая: 1. $x = 0$ 2. $x^2 - 25 = 0$ Решаем второе уравнение: $x^2 = 25$ $x = \pm 5$ **Ответ: $x = 0, x = 5, x = -5$** б) $5(x - 2.5) - 4x = 3(2.5 + 3x)$ Раскрываем скобки: $5x - 12.5 - 4x = 7.5 + 9x$ Приводим подобные члены: $x - 12.5 = 7.5 + 9x$ Переносим $x$ в одну сторону, числа в другую: $-8x = 20$ Делим на -8: $x = -2.5$ **Ответ: $x = -2.5$** a) $16x^3 - 32x^2 - x + 2 = 0$ Сгруппируем члены: $(16x^3 - 32x^2) + (-x + 2) = 0$ Вынесем общий множитель из каждой группы: $16x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$ Теперь вынесем $(x - 2)$ как общий множитель: $(x - 2)(16x^2 - 1) = 0$ Теперь у нас есть два случая: 1. $x - 2 = 0 \,\Rightarrow\, x = 2$ 2. $16x^2 - 1 = 0$ Решаем второе уравнение: $16x^2 = 1$ $x^2 = \frac{1}{16}$ $x = \pm \frac{1}{4}$ **Ответ: $x = 2, x = \frac{1}{4}, x = -\frac{1}{4}$** б) $x^6 - x^4 + 5x^2 - 5 = 0$ Сгруппируем члены: $(x^6 - x^4) + (5x^2 - 5) = 0$ Вынесем общий множитель из каждой группы: $x^4(x^2 - 1) + 5(x^2 - 1) = 0$ Теперь вынесем $(x^2 - 1)$ как общий множитель: $(x^2 - 1)(x^4 + 5) = 0$ Теперь у нас есть два случая: 1. $x^2 - 1 = 0 \,\Rightarrow\, x^2 = 1 \,\Rightarrow\, x = \pm 1$ 2. $x^4 + 5 = 0$ Решаем второе уравнение: $x^4 = -5$ Так как $x^4$ не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений. **Ответ: $x = 1, x = -1$** a) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ Пусть $y = x^2$, тогда уравнение принимает вид: $y^2 - 5y + 4 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$ $y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4$ $y_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$ Теперь находим $x$: 1. $x^2 = 4 \,\Rightarrow\, x = \pm 2$ 2. $x^2 = 1 \,\Rightarrow\, x = \pm 1$ **Ответ: $x = 2, x = -2, x = 1, x = -1$** б) $x^4 + 15x^2 + 54 = 0$ Пусть $y = x^2$, тогда уравнение принимает вид: $y^2 + 15y + 54 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 225 - 216 = 9$ $y_1 = \frac{-15 + 3}{2} = -6$ $y_2 = \frac{-15 - 3}{2} = -9$ Теперь находим $x$: 1. $x^2 = -6$ - нет действительных решений 2. $x^2 = -9$ - нет действительных решений **Ответ: нет действительных решений** $\frac{x}{x+5} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{50}{x^2-25}$ Приводим к общему знаменателю, учитывая, что $x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$: $\frac{x(x-5)}{(x+5)(x-5)} + \frac{(x+5)(x+5)}{(x+5)(x-5)} = \frac{50}{(x+5)(x-5)}$ Умножаем обе части уравнения на $(x+5)(x-5)$: $x(x-5) + (x+5)(x+5) = 50$ Раскрываем скобки: $x^2 - 5x + x^2 + 10x + 25 = 50$ Приводим подобные члены: $2x^2 + 5x - 25 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225$ $x_1 = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$ $x_2 = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5$ Проверяем корни. $x=-5$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. **Ответ: $x = 2.5$**