Реши задачи по геометрии: 1) Найди острый угол, образующийся при пересечении диагоналей прямоугольника, если диагональ образует с одной из его сторон угол 40°; 2) Найди углы ромба ABCD, где угол A острый, BF и BE - высоты, угол между диагональю BD и высотой BF равен 40°; 3) Найди угол NAD, если внутри квадрата ABCD выбрана точка N так, что треугольник BNC равносторонний.

Привет! Сейчас помогу. 1. Пусть прямоугольник $ABCD$, диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $40^\circ$. Тогда угол $CAD = 40^\circ$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO = CO$, где $O$ – точка пересечения диагоналей. Следовательно, треугольник $AOC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA = 40^\circ$. Угол $AOC$ является внешним углом треугольника $AOD$, поэтому $\angle AOC = \angle OAD + \angle ODA$. Так как $\angle OAD = 40^\circ$, то $\angle ODA = \angle AOC - \angle OAD$. Угол $\angle AOC$ равен $180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$. Тогда $\angle ODA = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ$. **Ответ: $60^\circ$** 2. В ромбе $ABCD$ угол $A$ острый, $BF$ и $BE$ – высоты. Угол между диагональю $BD$ и высотой $BF$ равен $40^\circ$. Так как $BF$ – высота, то угол $BFA = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $BFD$. В нем угол $BFD = 40^\circ$, угол $BFA = 90^\circ$, следовательно, угол $FBD = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то угол $ABD = угол CBD = 50^\circ$. Тогда угол $ABC = угол ABD + угол CBD = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$. В ромбе противоположные углы равны, значит, угол $ADC = 100^\circ$. Углы, прилежащие к одной стороне ромба, в сумме составляют $180^\circ$, следовательно, угол $BAD = угол BCD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. **Ответ: углы ромба равны $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$** 3. В квадрате $ABCD$ внутри выбрана точка $N$ так, что треугольник $BNC$ равносторонний. Так как $ABCD$ – квадрат, то все его углы равны $90^\circ$, и все стороны равны. Следовательно, $AB = BC = CD = DA$. Так как треугольник $BNC$ равносторонний, то $BN = NC = BC$. Значит, $AB = BN = NC = CD = DA$. Рассмотрим треугольник $ABN$. В нем $AB = BN$, следовательно, он равнобедренный. Угол $ABC = 90^\circ$, угол $NBC = 60^\circ$ (так как треугольник $BNC$ равносторонний). Тогда угол $ABN = угол ABC - угол NBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, угол $BAN = углу BNA = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ$. Угол $BAD = 90^\circ$, следовательно, угол $NAD = угол BAD - угол BAN = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$. **Ответ: $15^\circ$**