Реши задачи по геометрии из варианта 1: найди третью сторону и площадь треугольника, сторону AB, угол MPN, сторону AC и угол AOK.

Задача №1. По теореме косинусов найдем третью сторону треугольника: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$ $$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120^\circ) = 100 + 144 - 240 \cdot (-0.5) = 244 + 120 = 364$$ $$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19.08 \text{ см}$$ Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2$$ **Ответ: Третья сторона равна $2\sqrt{91}$ см, площадь равна $30\sqrt{3}$ см$^2$** Задача №2. По теореме синусов: $$\frac{AB}{sin(\angle C)} = \frac{AC}{sin(\angle B)}$$ $$AB = \frac{AC \cdot sin(\angle C)}{sin(\angle B)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot sin(30^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5 \text{ см}$$ **Ответ: AB = 5 см** Задача №3. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами, и высотами. Точка пересечения биссектрис (P) является центром вписанной окружности. \(\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ\). Биссектрисы делят углы пополам, поэтому \(\angle NBC = \angle NCA = 30^\circ\). \(\angle MPN\) является внешним углом для треугольника \(\triangle APN\). Тогда \(\angle MPN = \angle PAN + \angle APN\). \(\angle PAN = 30^\circ\) (т.к. AM - биссектриса). \(\angle APN = 180^\circ - (\angle PAN + \angle PNA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ\). **Ответ: \(\angle MPN = 120^\circ\)** Задача №4. В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота CH является также и медианой. Значит, AH = HB = 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AHC\). По теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$ $$AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$ $$AC = \sqrt{169} = 13$$ **Ответ: AC = 13** Задача №5. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, AO : OM = 2 : 1. \(\angle A = 60^\circ\). Медиана AM является также и биссектрисой, поэтому \(\angle OAK = 30^\circ\). Так как медианы в равностороннем треугольнике равны и пересекаются под углом 60 градусов, то \(\angle AOK = 60^\circ\). **Ответ: \(\angle AOK = 60^\circ\)**