Реши задачи по геометрии: найди угол OMP, углы равнобокой трапеции, стороны параллелограмма, углы прямоугольной трапеции и длину AM.

1. Диагонали прямоугольника $MNKP$ пересекаются в точке $O$, $\angle MON = 64^\circ$. Найдите угол $OMP$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, следовательно, $MO = NO$. Тогда треугольник $MNO$ равнобедренный, и углы при его основании равны: $\angle NMO = \angle MNO = (180^\circ - 64^\circ) / 2 = 58^\circ$. Так как $MNKP$ — прямоугольник, то $\angle KMN = 90^\circ$. Тогда $\angle OMP = 90^\circ - \angle NMO = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$. **Ответ: $\angle OMP = 32^\circ$** 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из её углов на $30^\circ$ больше второго. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $x + 30^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Значит, $x + x + 30^\circ = 180^\circ$, откуда $2x = 150^\circ$, и $x = 75^\circ$. Тогда другой угол равен $75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$. **Ответ: Углы трапеции: $75^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$, $105^\circ$.** 3. Стороны параллелограмма относятся как $3 : 1$, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. Пусть одна сторона параллелограмма равна $3x$, тогда другая сторона равна $x$. Периметр параллелограмма равен $2(3x + x) = 8x$. По условию, периметр равен 40 см, значит, $8x = 40$, откуда $x = 5$. Тогда одна сторона равна $3 \cdot 5 = 15$ см, а другая сторона равна 5 см. **Ответ: Стороны параллелограмма: 15 см, 15 см, 5 см, 5 см.** 4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна $48^\circ$. Найдите углы трапеции. В прямоугольной трапеции два угла по $90^\circ$. Пусть один из оставшихся углов равен $x$, тогда другой угол равен $x + 48^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, не равной той, где углы по $90^\circ$, равна $180^\circ$. Значит, $x + x + 48^\circ = 180^\circ$, откуда $2x = 132^\circ$, и $x = 66^\circ$. Тогда другой угол равен $66^\circ + 48^\circ = 114^\circ$. **Ответ: Углы трапеции: $90^\circ$, $90^\circ$, $66^\circ$, $114^\circ$.** 5. Высота $BM$, проведенная из вершины угла ромба $ABCD$, образует со стороной $AB$ угол $30^\circ$, длина диагонали $AC$ равна 6 см. Найдите $AM$, если точка $M$ лежит на продолжении стороны $AD$. В ромбе $ABCD$ высота $BM$ образует со стороной $AB$ угол $30^\circ$. Следовательно, $\angle ABM = 30^\circ$, а значит, $\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Так как в ромбе противоположные углы равны, то $\angle ADC = 150^\circ$, а $\angle BAD = \angle BCD = (360^\circ - 2 \cdot 150^\circ) / 2 = 30^\circ$. Треугольник $ABM$ — прямоугольный, $\angle ABM = 30^\circ$. Тогда $\angle BAM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Значит, $\angle MAD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Так как $AC = 6$ см, то $AO = OC = 3$ см. Треугольник $ABO$ — прямоугольный, и $\angle BAO = 15^\circ$. Тогда $AB = AO / \cos 15^\circ \approx 3.11$ см. (Это можно найти, используя формулу косинуса двойного угла или калькулятор.) В прямоугольном треугольнике $ABM$, $AM = AB \cdot \cos 60^\circ = 3.11 \cdot 0.5 \approx 1.56$ см. **Ответ: $AM \approx 1.56$ см.**