Реши уравнения: a) (x²-6) / (x-3) = x / (x-3)

a) \(\frac{x^2-6}{x-3} = \frac{x}{x-3}\) Домножим обе части уравнения на \(x-3\) (с учетом ОДЗ: \(x \neq 3\)): $$x^2 - 6 = x$$ $$x^2 - x - 6 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ Корни: $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$$ Но \(x \neq 3\), поэтому остается только один корень. **Ответ: x = -2** б) \(\frac{20}{x} = 9 - x\) Домножим обе части уравнения на \(x\) (с учетом ОДЗ: \(x \neq 0\)): $$20 = 9x - x^2$$ $$x^2 - 9x + 20 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$$ Корни: $$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$ Оба корня удовлетворяют условию \(x \neq 0\). **Ответ: x = 5, x = 4** в) \(\frac{x-4}{x} = \frac{2x+10}{x+4}\) Умножим крест-накрест (с учетом ОДЗ: \(x \neq 0\), \(x \neq -4\)): $$(x - 4)(x + 4) = x(2x + 10)$$ $$x^2 - 16 = 2x^2 + 10x$$ $$x^2 + 10x + 16 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$$ Корни: $$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 6}{2} = -8$$ Оба корня удовлетворяют условиям \(x \neq 0\) и \(x \neq -4\). **Ответ: x = -2, x = -8** г) \(\frac{x^2-12}{x-3} = \frac{x}{3-x}\) Заметим, что \(3 - x = -(x - 3)\), поэтому уравнение можно переписать как: $$\frac{x^2-12}{x-3} = -\frac{x}{x-3}$$ Домножим обе части уравнения на \(x-3\) (с учетом ОДЗ: \(x \neq 3\)): $$x^2 - 12 = -x$$ $$x^2 + x - 12 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ Корни: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$$ Но \(x \neq 3\), поэтому остается только один корень. **Ответ: x = -4** д) \(\frac{2x^2-5x+2}{x-2} = 4x+1\) Домножим обе части уравнения на \(x-2\) (с учетом ОДЗ: \(x \neq 2\)): $$2x^2 - 5x + 2 = (4x + 1)(x - 2)$$ $$2x^2 - 5x + 2 = 4x^2 - 8x + x - 2$$ $$2x^2 - 5x + 2 = 4x^2 - 7x - 2$$ $$2x^2 - 2x - 4 = 0$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ Корни: $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ Но \(x \neq 2\), поэтому остается только один корень. **Ответ: x = -1**