Реши задачи по геометрии с прямоугольными и равносторонними треугольниками, найди гипотенузу, сторону, площадь, углы и радиус описанной окружности.

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найди гипотенузу этого треугольника. По теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты. Тогда $$c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$ **Ответ: 26** 2. Биссектриса равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника. В равностороннем треугольнике биссектриса является и высотой. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда $10\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ $$a = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$$ **Ответ: 20** 3. Сторона треугольника равна 21, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника. Площадь треугольника $S$ равна половине произведения основания $a$ на высоту $h$, проведённую к этому основанию: $S = \frac{1}{2}ah$. Тогда $$S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 22 = 231$$ **Ответ: 231** 4. В треугольнике ABC угол C равен 132°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах. Внешний угол при вершине равен $180 - 132 = 48$\n**Ответ: 48** 5. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 74°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. Биссектриса делит угол пополам, значит ∠BAD = ∠BAC / 2 ∠BAD = 74 / 2 = 37° **Ответ: 37** 6. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 124°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах. Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Значит, углы при основании равны: ∠BCA = ∠BAC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠BCA = (180 - 124) / 2 = 56 / 2 = 28° **Ответ: 28** 7. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 21, сторона BC равна 22, сторона AC равна 28. Найдите MN. MN - средняя линия треугольника, параллельна AC и равна половине AC. MN = AC / 2 = 28 / 2 = 14 **Ответ: 14** 8. В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 60°, BC = 9,6. Найдите AC. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$ $\frac{9.6}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}$ $AC = \frac{9.6 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{9.6 \cdot (\sqrt{3}/2)}{(\sqrt{2}/2)} = 9.6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 9.6 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 4.8\sqrt{6}$ **Ответ: $4.8\sqrt{6}$** 9. Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите медиану этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда $$h = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$$ **Ответ: 15** 10. В треугольнике ABC известно, что AC = 40, BC = 30, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора, найдём гипотенузу AB: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$ Радиус $R$ равен: $R = \frac{AB}{2} = \frac{50}{2} = 25$ **Ответ: 25**