Реши задачи по геометрии на готовых чертежах: найди периметр треугольника, длину отрезка и докажи равенство.

1. \*Допущение: треугольник ABC равнобедренный, так как AE=EB и BF=FC.\* Тогда периметр треугольника ABC равен $4 + 4 + 5 + 5 + 12 = 30$. **Ответ: 30** 2. \*Допущение: точки $A_1, A_2, A_3, A_4$ делят отрезок на равные части, и прямые $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3, A_4B_4$ параллельны.\* Тогда, по теореме Фалеса, точки $B_1, B_2, B_3, B_4$ тоже делят отрезок на равные части. Значит, $B_2B_3 = \frac{1}{4}AB_4 = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10$. **Ответ: 10** 3. \*Допущение: AM=MB, CN=ND, BC||AD.\* Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD$. $\angle BOC = \angle AOD$ как вертикальные. $\angle CBO = \angle ADO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$. Значит, треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны. Из подобия следует, что $\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{AO}$. Рассмотрим треугольники $MBO$ и $NDO$. $\angle BMO = \angle DNO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $MN$. $\angle MOB = \angle NOD$ как вертикальные. Значит, треугольники $MBO$ и $NDO$ подобны. Из подобия следует, что $\frac{MB}{ND} = \frac{BO}{OD}$. Так как $AM = MB$ и $CN = ND$, то $MB = \frac{1}{2}AB$ и $ND = \frac{1}{2}CD$. Тогда $\frac{MB}{ND} = \frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}CD} = \frac{AB}{CD}$. Из равенства $\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{AO}$ следует, что $AO \cdot BO = CO \cdot OD$. Из равенства $\frac{MB}{ND} = \frac{BO}{OD}$ следует, что $MB \cdot OD = ND \cdot BO$. Тогда $AO \cdot BO = CO \cdot OD = MB \cdot OD = ND \cdot BO$. Значит, $AO = CO$. Что и требовалось доказать. 4. \*Допущение: MK || BE || CD, BC = 10, AD = 16, AM = MK.\* Проведём прямую $ML \parallel CD$, где $L$ лежит на $AD$. Так как $MK \parallel CD$, то $MK \parallel DL$. Значит, $MKDL$ — параллелограмм. Тогда $MK = DL$. Так как $AM = MK$, то $AM = DL$. Так как $ML \parallel CD$ и $BE \parallel CD$, то $ML \parallel BE$. Значит, $MBEL$ — параллелограмм. Тогда $BE = ML$. Так как $BC \parallel AD$, то $BCDL$ — трапеция. Тогда $ML$ — средняя линия трапеции $BCDL$. Значит, $ML = \frac{BC + DL}{2}$. Тогда $BE = \frac{BC + DL}{2} = \frac{10 + AM}{2}$. Так как $BE \parallel CD$, то $ABEC$ — трапеция. Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABEC$. Значит, $MK = \frac{BE + AC}{2}$. Тогда $AM = \frac{BE + AC}{2} = \frac{\frac{10 + AM}{2} + AC}{2}$. Решим уравнение относительно $AM$. $AM = \frac{\frac{10 + AM}{2} + AC}{2}$. $2AM = \frac{10 + AM}{2} + AC$. $4AM = 10 + AM + 2AC$. $3AM = 10 + 2AC$. $AM = \frac{10 + 2AC}{3}$. Так как $ABEC$ — трапеция, то $AC \parallel BE$. Значит, $AC = BE$. Тогда $AM = \frac{10 + 2BE}{3}$. Подставим $BE = \frac{10 + AM}{2}$. $AM = \frac{10 + 2 \cdot \frac{10 + AM}{2}}{3} = \frac{10 + 10 + AM}{3} = \frac{20 + AM}{3}$. $3AM = 20 + AM$. $2AM = 20$. $AM = 10$. Тогда $AK = AM = 10$. **Ответ: 10**