Сравни дроби, расположи числа в порядке возрастания, укажи два числа, вычисли, преобразуй дроби и найди значения выражений.

1. Сравнение дробей: 1) $\frac{5}{8}$ и $\frac{21}{32}$. Чтобы сравнить, приведем к общему знаменателю 32: $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32}$. Так как $\frac{20}{32} < \frac{21}{32}$, то $\frac{5}{8} < \frac{21}{32}$. 2) $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$. Приведем к общему знаменателю 36: $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}$, $\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}$. Так как $\frac{15}{36} > \frac{14}{36}$, то $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$. 3) $\frac{4}{9}$ и $\frac{2}{5}$. Приведем к общему знаменателю 45: $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45}$, $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{18}{45}$. Так как $\frac{20}{45} > \frac{18}{45}$, то $\frac{4}{9} > \frac{2}{5}$. 4) $\frac{11}{15}$ и $\frac{18}{25}$. Приведем к общему знаменателю 75: $\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{55}{75}$, $\frac{18}{25} = \frac{18 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{54}{75}$. Так как $\frac{55}{75} > \frac{54}{75}$, то $\frac{11}{15} > \frac{18}{25}$. 5) $\frac{8}{33}$ и $\frac{8}{27}$. Так как знаменатель 33 больше знаменателя 27, то $\frac{8}{33} < \frac{8}{27}$. 6) $\frac{69}{211}$ и $\frac{69}{205}$. Так как знаменатель 211 больше знаменателя 205, то $\frac{69}{211} < \frac{69}{205}$. 2. Расположим числа $\frac{15}{28}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{9}{14}$ в порядке возрастания. Приведем все дроби к общему знаменателю 56: $\frac{15}{28} = \frac{15 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{30}{56}$, $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$, $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{32}{56}$, $\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 4}{14 \cdot 4} = \frac{36}{56}$. В порядке возрастания: $\frac{30}{56}$, $\frac{32}{56}$, $\frac{35}{56}$, $\frac{36}{56}$. То есть: $\frac{15}{28}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{9}{14}$. 3. Два числа, каждое из которых больше $\frac{2}{7}$, но меньше $\frac{8}{21}$. Приведем дроби к общему знаменателю 21: $\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}$. Нужно найти два числа больше $\frac{6}{21}$, но меньше $\frac{8}{21}$. Это могут быть, например, $\frac{6.5}{21}$ и $\frac{7}{21}$. 4. Вычислим: 1) $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 3}{15} = \frac{10 + 9}{15} = \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$. 2) $\frac{7}{8} - \frac{9}{16} = \frac{7 \cdot 2 - 9}{16} = \frac{14 - 9}{16} = \frac{5}{16}$. 3) $\frac{16}{35} - \frac{3}{10} = \frac{16 \cdot 2 - 3 \cdot 7}{70} = \frac{32 - 21}{70} = \frac{11}{70}$. 4) $\frac{4}{15} + \frac{2}{9} = \frac{4 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{45} = \frac{12 + 10}{45} = \frac{22}{45}$. 5) $\frac{7}{12} - \frac{8}{15} = \frac{7 \cdot 5 - 8 \cdot 4}{60} = \frac{35 - 32}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$. 6) $\frac{11}{12} - \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{11 \cdot 2 - 3 \cdot 3 + 1 \cdot 6}{24} = \frac{22 - 9 + 6}{24} = \frac{19}{24}$. 5. Первый провод: 7 м на 10 частей, значит, длина одной части $\frac{7}{10}$ м. Второй провод: 11 м на 18 частей, значит, длина одной части $\frac{11}{18}$ м. Сравним: $\frac{7}{10}$ и $\frac{11}{18}$. Приведем к общему знаменателю 90: $\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{63}{90}$, $\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{55}{90}$. Так как $\frac{63}{90} > \frac{55}{90}$, то $\frac{7}{10} > \frac{11}{18}$. Следовательно, часть первого провода имеет большую длину. Разница: $\frac{7}{10} - \frac{11}{18} = \frac{63 - 55}{90} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}$ м. 6. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и вычислим: 1) $\frac{7}{9} - 0,6 = \frac{7}{9} - \frac{6}{10} = \frac{7}{9} - \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 9}{45} = \frac{35 - 27}{45} = \frac{8}{45}$. 2) $0,34 + \frac{8}{11} = \frac{34}{100} + \frac{8}{11} = \frac{17}{50} + \frac{8}{11} = \frac{17 \cdot 11 + 8 \cdot 50}{550} = \frac{187 + 400}{550} = \frac{587}{550} = 1\frac{37}{550}$. 3) $\frac{25}{36} - 0,55 = \frac{25}{36} - \frac{55}{100} = \frac{25}{36} - \frac{11}{20} = \frac{25 \cdot 5 - 11 \cdot 9}{180} = \frac{125 - 99}{180} = \frac{26}{180} = \frac{13}{90}$. 4) $0,375 - \frac{3}{19} = \frac{375}{1000} - \frac{3}{19} = \frac{3}{8} - \frac{3}{19} = \frac{3 \cdot 19 - 3 \cdot 8}{152} = \frac{57 - 24}{152} = \frac{33}{152}$. 7. Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные и вычислим: 1) $6,54 + \frac{9}{25} = 6,54 + 0,36 = 6,9$. 2) $14\frac{9}{40} + 6,58 = 14,225 + 6,58 = 20,805$. 3) $0,89 - \frac{11}{40} = 0,89 - 0,275 = 0,615$. 8. Найдем значение выражения, используя свойства сложения или свойства вычитания: 1) $\frac{8}{45} + \frac{14}{19} + \frac{7}{45} + \frac{5}{19} = (\frac{8}{45} + \frac{7}{45}) + (\frac{14}{19} + \frac{5}{19}) = \frac{15}{45} + \frac{19}{19} = \frac{1}{3} + 1 = 1\frac{1}{3}$. 2) $\frac{4}{15} + \frac{2}{7} + \frac{3}{10} + \frac{11}{15} = (\frac{4}{15} + \frac{11}{15}) + \frac{3}{10} + \frac{2}{7} = \frac{15}{15} + \frac{3}{10} + \frac{2}{7} = 1 + \frac{3 \cdot 7 + 2 \cdot 10}{70} = 1 + \frac{21 + 20}{70} = 1 + \frac{41}{70} = 1\frac{41}{70}$. 3) $(\frac{53}{81} + \frac{7}{36}) - \frac{26}{81} = (\frac{53}{81} - \frac{26}{81}) + \frac{7}{36} = \frac{27}{81} + \frac{7}{36} = \frac{1}{3} + \frac{7}{36} = \frac{12 + 7}{36} = \frac{19}{36}$. 4) $\frac{44}{54} - (\frac{1}{11} + \frac{35}{54}) = \frac{44}{54} - \frac{35}{54} - \frac{1}{11} = \frac{9}{54} - \frac{1}{11} = \frac{1}{6} - \frac{1}{11} = \frac{11 - 6}{66} = \frac{5}{66}$. 9. Пусть $x$ - время на историю. Тогда на математику $x + \frac{7}{30}$, на русский $x + \frac{3}{20}$. Всего времени: $x + x + \frac{7}{30} + x + \frac{3}{20} = \frac{5}{12}$. Значит, $3x + \frac{7}{30} + \frac{3}{20} = \frac{5}{12}$. $3x + \frac{14 + 9}{60} = \frac{5}{12}$. $3x + \frac{23}{60} = \frac{25}{60}$. $3x = \frac{25 - 23}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$. $x = \frac{1}{90}$. Время на математику: $\frac{1}{90} + \frac{7}{30} = \frac{1 + 21}{90} = \frac{22}{90} = \frac{11}{45}$. Время на русский: $\frac{1}{90} + \frac{3}{20} = \frac{2 + 27}{180} = \frac{29}{180}$. Общее время: $\frac{1}{90} + \frac{11}{45} + \frac{29}{180} = \frac{2 + 44 + 29}{180} = \frac{75}{180} = \frac{5}{12}$. **Ответы:** 1. Сравнение дробей: смотри решение. 2. В порядке возрастания: $\frac{15}{28}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{9}{14}$. 3. Например, $\frac{6.5}{21}$ и $\frac{7}{21}$. 4. Вычисления: смотри решение. 5. Часть первого провода больше на $\frac{4}{45}$ м. 6. Преобразование десятичных дробей: смотри решение. 7. Преобразование обыкновенных дробей: смотри решение. 8. Значение выражений: смотри решение. 9. Общее время: $\frac{5}{12}$ часа.