Найди площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² – 4x, y = x – 4

Для решения этой задачи нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 - 4x$ и $y = x - 4$. 1. Найдем точки пересечения графиков, приравняв уравнения: $$x^2 - 4x = x - 4$$ $$x^2 - 5x + 4 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$. Корни: $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ Итак, графики пересекаются в точках $x = 1$ и $x = 4$. 2. Определим, какая функция больше на интервале $[1, 4]$. Возьмем, например, точку $x = 2$: $y_1 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$ $y_2 = 2 - 4 = -2$ Так как $-2 > -4$, то $y = x - 4$ больше, чем $y = x^2 - 4x$ на интервале $[1, 4]$. 3. Найдем площадь фигуры как интеграл разности функций от $1$ до $4$: $$S = \int_{1}^{4} ((x - 4) - (x^2 - 4x)) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$$ $$S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x\right]_{1}^{4}$$ $$S = \left(-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1\right)$$ $$S = \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right)$$ $$S = \left(-\frac{64}{3} + 24\right) - \left(-\frac{2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6}\right)$$ $$S = \left(\frac{-64 + 72}{3}\right) - \left(\frac{-11}{6}\right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$$ **Ответ: Площадь фигуры равна 4.5 квадратных единиц.**