## 1 Вариант
1. Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 225 и 315, разложим их на простые множители:
$225 = 3^2 \cdot 5^2$
$315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$
Общие множители: $3^2$ и $5$.
НОД(225, 315) = $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$
**Ответ: 45**
2. Сравнение дробей:
a) $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{7}$. Приведем к общему знаменателю 35: $\frac{2}{5} = \frac{14}{35}$, $\frac{3}{7} = \frac{15}{35}$. Значит, $\frac{2}{5} < \frac{3}{7}$.
б) $\frac{3}{12}$ и $\frac{5}{16}$. Упростим первую дробь: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Приведем к общему знаменателю 16: $\frac{1}{4} = \frac{4}{16}$. Значит, $\frac{3}{12} < \frac{5}{16}$.
в) $\frac{12}{35}$ и $\frac{10}{21}$. Приведем к общему знаменателю 105: $\frac{12}{35} = \frac{36}{105}$, $\frac{10}{21} = \frac{50}{105}$. Значит, $\frac{12}{35} < \frac{10}{21}$.
3. Выполните действия:
$$\left(\frac{3}{10} - \frac{2}{15}\right) + \frac{7}{30} = \left(\frac{9}{30} - \frac{4}{30}\right) + \frac{7}{30} = \frac{5}{30} + \frac{7}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$$
**Ответ: $\frac{2}{5}$**
4. Решите задачу:
Пусть на первое платье ушло $\frac{2}{7}$ всей ткани, а на второе на $\frac{1}{8}$ больше, чем на первое. Сколько ткани ушло на два платья?
Ткань на второе платье: $\frac{2}{7} + \frac{1}{8} = \frac{16}{56} + \frac{7}{56} = \frac{23}{56}$.
Всего ткани ушло: $\frac{2}{7} + \frac{23}{56} = \frac{16}{56} + \frac{23}{56} = \frac{39}{56}$.
**Ответ: $\frac{39}{56}$**
5. Какую цифру нужно подставить вместо *, чтобы число 23*51 делилось на 9?
Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. $2 + 3 + x + 5 + 1 = 11 + x$. Ближайшее число, делящееся на 9, это 18. Значит, $11 + x = 18$, откуда $x = 7$.
**Ответ: 7**
## 2 Вариант
1. Найдите НОД чисел 125 и 215
$125 = 5^3$
$215 = 5 \cdot 43$
НОД(125, 215) = 5
**Ответ: 5**
2. Сравните дроби
a) $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем к общему знаменателю 30: $\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$, $\frac{3}{5} = \frac{18}{30}$. Значит, $\frac{1}{6} < \frac{3}{5}$.
б) $\frac{7}{10}$ и $\frac{5}{12}$. Приведем к общему знаменателю 60: $\frac{7}{10} = \frac{42}{60}$, $\frac{5}{12} = \frac{25}{60}$. Значит, $\frac{7}{10} > \frac{5}{12}$.
в) $\frac{8}{45}$ и $\frac{11}{30}$. Приведем к общему знаменателю 90: $\frac{8}{45} = \frac{16}{90}$, $\frac{11}{30} = \frac{33}{90}$. Значит, $\frac{8}{45} < \frac{11}{30}$.
3. Выполните действия:
$$\left(\frac{4}{12} - \frac{3}{16}\right) + \frac{9}{48} = \left(\frac{16}{48} - \frac{9}{48}\right) + \frac{9}{48} = \frac{7}{48} + \frac{9}{48} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$$
**Ответ: $\frac{1}{3}$**
4. Решите задачу:
В первый день собрали $\frac{3}{10}$ всего картофеля на поле, а во второй день на $\frac{1}{5}$ больше, чем в первый. Сколько картофеля собрали за два дня?
Во второй день: $\frac{3}{10} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Всего за два дня: $\frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
**Ответ: $\frac{4}{5}$**
5. Какую цифру нужно подставить вместо *, чтобы число 937*5 делилось на 3?
Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. $9 + 3 + 7 + x + 5 = 24 + x$. Ближайшее число, делящееся на 3, это 24. Значит, $24 + x = 24$, откуда $x = 0$. Следующее число, делящееся на 3, это 27. Значит, $24 + x = 27$, откуда $x = 3$. Или 30, откуда x = 6. Или 33, откуда x = 9.
**Ответ: 0, 3, 6 или 9**
