Реши уравнение $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$.

Question

Вопрос:

Реши уравнение $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$.

$Реши уравнение $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Решим уравнение $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$. Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому $9^{x^2-1} = (3^2)^{x^2-1} = 3^{2(x^2-1)} = 3^{2x^2-2}$. Также $3^{x^2-3} = \frac{3^{x^2}}{3^3} = \frac{3^{x^2}}{27}$. Тогда уравнение можно переписать как: $$3^{2x^2-2} - 36 \cdot \frac{3^{x^2}}{27} + 3 = 0$$ $$3^{2x^2-2} - \frac{4}{3} \cdot 3^{x^2} + 3 = 0$$ Пусть $t = 3^{x^2}$, тогда $3^{2x^2-2} = \frac{3^{2x^2}}{3^2} = \frac{(3^{x^2})^2}{9} = \frac{t^2}{9}$. Уравнение примет вид: $$\frac{t^2}{9} - \frac{4}{3}t + 3 = 0$$ $$t^2 - 12t + 27 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$$ $$t_1 = \frac{12 + \sqrt{36}}{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{12 - \sqrt{36}}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3$$ Теперь найдем $x$: 1) $3^{x^2} = 9 = 3^2$, значит $x^2 = 2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$. 2) $3^{x^2} = 3 = 3^1$, значит $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$. **Ответ: $x = \pm \sqrt{2}, x = \pm 1$**

Реши уравнение $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$.

Ответ ассистента

Другие решения