Реши задачу по геометрии: в правильной треугольной пирамиде сторона равна 2√3, а боковая грань наклонена к основанию под углом 30°. Найди боковое ребро и угол наклона ребра к плоскости основания.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $AB = BC = AC = 2\sqrt{3}$. Пусть $O$ - центр основания $ABC$, $M$ - середина стороны $BC$. Угол между боковой гранью и основанием равен $\angle SMA = 30^\circ$. 1. Найдем высоту пирамиды $SO$. Так как $\angle SMA = 30^\circ$, то в прямоугольном треугольнике $SOM$ имеем $\tan(\angle SMA) = \frac{SO}{OM}$. $OM$ - это радиус вписанной окружности в правильный треугольник $ABC$. $OM = \frac{AB}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$. Тогда $SO = OM \cdot \tan(\angle SMA) = 1 \cdot \tan(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. 2. Найдем боковое ребро $SB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$. $OB$ - это радиус описанной окружности около правильного треугольника $ABC$. $OB = \frac{AB \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = 2$. По теореме Пифагора $SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{3}{9} + 4} = \sqrt{\frac{1}{3} + 4} = \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3}$. 3. Найдем угол наклона ребра $SB$ к плоскости основания $ABC$. Это угол $\angle SBO$. $\tan(\angle SBO) = \frac{SO}{OB} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$. Тогда $\angle SBO = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{6})$. **Ответ:** Боковое ребро равно $\frac{\sqrt{39}}{3}$, угол наклона ребра к плоскости основания равен $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{6})$.