Докажи, что если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить несколько фактов о выпуклых четырехугольниках. 1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. 2. Если не все углы равны, то хотя бы один из них отличается. Предположим, что в выпуклом четырехугольнике нет тупого угла. Это означает, что все углы либо острые (меньше $90^\circ$), либо прямые (равны $90^\circ$). Если все углы прямые, то каждый угол равен $90^\circ$, и, следовательно, они все равны. Но по условию задачи не все углы равны. Значит, не все углы могут быть прямыми. Допустим, что у нас есть три равных угла, и все они острые. Чтобы сумма углов была $360^\circ$, четвертый угол должен быть больше, чем острый, иначе сумма будет меньше $360^\circ$. Если три угла равны и являются прямыми ($90^\circ$), то четвертый угол будет: $360^\circ - 3 \cdot 90^\circ = 90^\circ$. И снова все углы равны, что противоречит условию. Теперь предположим, что у нас есть три равных угла, и они составляют наи́большую возможную величину острого угла, то есть почти $90^\circ$. Например, $89^\circ$. Тогда четвёртый угол должен быть: $360^\circ - 3 \cdot 89^\circ = 360^\circ - 267^\circ = 93^\circ$. Это тупой угол. Таким образом, если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другу, то хотя бы один из них должен быть тупым.