Найди стороны треугольника ABC, если ∠A = 45°, ∠C=30°, а высота AD равна 3 м.

Задача 1116: 1. Рассмотрим треугольник ABC, где $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 105^\circ$. 2. Пусть $AD$ – высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, и $AD = 3$ м. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нём $\angle C = 30^\circ$, значит, $AC = \frac{AD}{\sin{30^\circ}} = \frac{3}{0.5} = 6$ м. 4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нём $\angle B = 105^\circ$, $\angle BAD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$, значит, $\angle ABD = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ$. Тогда треугольник $ABD$ — равнобедренный, и $BD = AD = 3$ м. 5. По теореме синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AC}{\sin{B}} = \frac{BC}{\sin{A}}$ $BC = \frac{AC \cdot \sin{A}}{\sin{B}} = \frac{6 \cdot \sin{45^\circ}}{\sin{105^\circ}}$ $\sin{105^\circ} = \sin{(60^\circ + 45^\circ)} = \sin{60^\circ} \cos{45^\circ} + \cos{60^\circ} \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ $BC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{12 \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{12} - 2)}{4} = 3(2\sqrt{3} - 2) = 6(\sqrt{3} - 1)$ 6. $BC = BD + DC$. Найдем $DC$ из прямоугольного треугольника $ADC$: $DC = AD \cdot \cot{30^\circ} = 3\sqrt{3}$. Тогда $BC = 3 + 3\sqrt{3} = 3(1 + \sqrt{3})$. 7. По теореме синусов $\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{BC}{\sin{A}}$, откуда $AB = \frac{BC \sin{C}}{\sin{A}} = \frac{3(1 + \sqrt{3}) \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3(1 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$. **Ответ:** $AC = 6$ м, $BC = 3 + 3\sqrt{3}$ м, $AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$ м