Реши задачи по геометрии: найди AD в трапеции, вырази векторы AK, DK через векторы a=AB и b=AD, вырази через векторы m=AB и n=AD векторы AP, AE, DP, BE, PE.

1. В трапеции $ABCD$ с $AB = CD$ высота $BH$ делит основание на отрезки, меньший из которых равен 5 см. Средняя линия равна 9 см. Найдите $AD$. Пусть меньший отрезок, образованный высотой $BH$, это $AH = 5$ см. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), то высота $BH$ делит основание $AD$ так, что $AH = (AD - BC) / 2$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $(AD + BC) / 2 = 9$ см. Из этих уравнений можно найти $AD$: $AH = (AD - BC) / 2 = 5$ $AD - BC = 10$ $AD = BC + 10$ $(AD + BC) / 2 = 9$ $AD + BC = 18$ Подставим $AD = BC + 10$ в уравнение $AD + BC = 18$: $BC + 10 + BC = 18$ $2BC = 8$ $BC = 4$ Теперь найдем $AD$: $AD = BC + 10 = 4 + 10 = 14$ **Ответ: $AD = 14$ см** 2. На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ отмечена точка $K$ так, что $BK : KC = 3 : 4$. Выразите векторы $\vec{AK}$, $\vec{DK}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$. $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{BC} = \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$ $\vec{DK} = \vec{DC} + \vec{CK} = \vec{a} - \frac{4}{7} \vec{BC} = \vec{a} - \frac{4}{7} \vec{b}$ **Ответ: $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$, $\vec{DK} = \vec{a} - \frac{4}{7} \vec{b}$** 3. Точки $P$ и $E$ лежат соответственно на сторонах $BC$ и $DC$ параллелограмма $ABCD$ так, что $BP = PC$ и $DE : EC = 1 : 2$. Выразите через векторы $\vec{m} = \vec{AB}$ и $\vec{n} = \vec{AD}$ векторы $\vec{AP}$, $\vec{AE}$, $\vec{DP}$, $\vec{BE}$, $\vec{PE}$. $\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{BC} = \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$ $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{n} + \frac{1}{3} \vec{DC} = \vec{n} + \frac{1}{3} \vec{m}$ $\vec{DP} = \vec{DA} + \vec{AP} = -\vec{n} + (\vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}) = \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ $\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DE} = -\vec{m} + \vec{n} + \frac{1}{3} \vec{m} = -\frac{2}{3} \vec{m} + \vec{n}$ $\vec{PE} = \vec{PC} + \vec{CE} = \frac{1}{2} \vec{BC} + \frac{2}{3} \vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{n} - \frac{2}{3} \vec{m}$ **Ответ: $\vec{AP} = \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$, $\vec{AE} = \vec{n} + \frac{1}{3} \vec{m}$, $\vec{DP} = \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$, $\vec{BE} = -\frac{2}{3} \vec{m} + \vec{n}$, $\vec{PE} = \frac{1}{2} \vec{n} - \frac{2}{3} \vec{m}$**