В треугольнике две стороны равны 5 см и 21 см, а угол между ними 60°. Найди третью сторону треугольника.

1. Применим теорему косинусов для нахождения третьей стороны треугольника. Пусть $a = 5$ см, $b = 21$ см, и угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Тогда третья сторона $c$ равна: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$ $c^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos(60^\circ)$ $c^2 = 25 + 441 - 210 \cdot \frac{1}{2}$ $c^2 = 466 - 105 = 361$ $c = \sqrt{361} = 19$ см **Ответ: 19 см** 2. Площадь параллелограмма равна $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ - стороны, $\alpha$ - угол между ними. В нашем случае $a = 11$ см, $b = 3\sqrt{3}$ см, $\alpha = 150^\circ$. Тогда $S = 11 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin(150^\circ) = 11 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{33\sqrt{3}}{2}$ см$^2$. Для нахождения меньшей диагонали воспользуемся теоремой косинусов. Пусть $d$ - меньшая диагональ. Тогда $d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)$ $d^2 = 11^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 11 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$ $d^2 = 121 + 27 - 66\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$ $d^2 = 148 + 33 \cdot 3 = 148 + 99 = 247$ $d = \sqrt{247}$ см **Ответ:** Площадь: $\frac{33\sqrt{3}}{2}$ см$^2$, меньшая диагональ: $\sqrt{247}$ см 3. Решим треугольник $ABC$, если $BC = 4\sqrt{2}$ см, $AC = 8$ см, $\angle C = 45^\circ$. По теореме косинусов найдем сторону $AB$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C)$ $AB^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$ $AB^2 = 64 + 32 - 64\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $AB^2 = 96 - 64 = 32$ $AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Значит, $\angle A = \angle C = 45^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. **Ответ:** $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 90^\circ$