Найди периметр треугольника, если одна сторона на 3 см больше другой, угол между ними 60°, а третья сторона равна 7 см. Найди радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см. Найди медиану треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см, проведенную к его меньшей стороне.

4. Пусть одна сторона треугольника равна $x$ см, тогда другая сторона равна $(x+3)$ см. По теореме косинусов, квадрат третьей стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: $$7^2 = x^2 + (x+3)^2 - 2 obracket x (x+3) obracket \cos(60^\circ)$$ $$49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - x(x+3)$$ $$49 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x$$ $$x^2 + 3x - 40 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, то $x = 5$ см. Тогда другая сторона равна $5 + 3 = 8$ см. Периметр треугольника равен сумме всех сторон: $P = 5 + 8 + 7 = 20$ см. **Ответ: 20 см** 5. Для нахождения радиуса вписанной окружности в треугольник, воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника. Найдем полупериметр: $p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см. Площадь треугольника найдем по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника. $S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ кв. см. Тогда радиус вписанной окружности равен: $r = \frac{24}{16} = 1,5$ см. **Ответ: 1,5 см** 6. Пусть стороны треугольника $a = 4$ см, $b = 5$ см, $c = 7$ см. Медиана проведена к стороне $a = 4$ см. Обозначим медиану как $m_a$. Используем формулу для нахождения медианы: $$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$ $$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 7^2 - 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 25 + 2 \cdot 49 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{132} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 33} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{33} = \sqrt{33}$$ $$m_a \approx 5,74 \text{ см}$$ **Ответ: $\sqrt{33}$ см или примерно 5,74 см**