Найди корень уравнения $9^{-5+x} = 729$

6. Решим уравнение $9^{-5+x} = 729$. Так как $729 = 9^3$, то уравнение можно переписать как $9^{-5+x} = 9^3$. Следовательно, $-5+x = 3$, откуда $x = 3+5 = 8$. 7. Упростим выражение $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}$ при $m = 64$. Выражение равно $\frac{1}{\sqrt{m}}$. Так как $m = 64$, то $\sqrt{64} = 8$. Следовательно, выражение равно $\frac{1}{8} = 0.125$. 8. На графике изображены точки экстремума функции $y = f(x)$ на интервале $(-2; 12)$. Нужно найти сумму абсцисс этих точек. По графику видно, что экстремумы находятся в точках $x = 0, x = 4, x = 8, x = 12$. Сумма абсцисс равна $0 + 4 + 8 + 12 = 24$. 9. Дано: ЭДС $\epsilon = 55$ В, внутреннее сопротивление $r = 0.5$ Ом, напряжение на нагрузке $U = \frac{\epsilon R}{r+R} \ge 50$ В. Нужно найти наименьшее значение сопротивления нагрузки $R$. Решим неравенство: $$\frac{55R}{0.5+R} \ge 50$$ $$55R \ge 50(0.5+R)$$ $$55R \ge 25 + 50R$$ $$5R \ge 25$$ $$R \ge 5$$ 10. Пусть $S$ - расстояние до опушки леса, $S = 4.4$ км. Первый человек идет со скоростью $v_1 = 2.5$ км/ч, второй - со скоростью $v_2 = 3$ км/ч. Второй доходит до опушки и возвращается обратно с той же скоростью. Надо найти расстояние от точки отправления, на котором произойдет встреча. Пусть $t$ - время до встречи. Тогда первый пройдет расстояние $S_1 = v_1 t = 2.5t$, а второй пройдет расстояние до опушки и обратно $S_2 = v_2 t = 3t$. Сумма расстояний равна $S_1 + S_2 = S + S = 2S$, так как они встретятся где-то между точкой отправления и опушкой. Тогда $2.5t + 3t = 2 \cdot 4.4$, то есть $5.5t = 8.8$, и $t = \frac{8.8}{5.5} = 1.6$ ч. Тогда расстояние от точки отправления, на котором произойдет встреча, будет $S_1 = 2.5 \cdot 1.6 = 4$ км. 11. На рисунке изображены графики функций $f(x) = 5x + 9$ и $g(x) = ax^2 + bx + c$. Нужно найти абсциссу точки $B$. По графику видно, что парабола $g(x)$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$. Также прямая $f(x)$ проходит через точку $(-1, 4)$. Так как графики пересекаются в точке $(-1, 4)$, то $f(-1) = 5(-1) + 9 = 4$. По графику можно найти координаты точек пересечения: $A(-2, -1)$ и $B(1, 14)$. Тогда абсцисса точки $B$ равна 1. 12. Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{2}{3}x^3 - 3x + 1$ на отрезке $[1; 9]$. Возьмем производную $y' = 2x^2 - 3$. Приравняем производную к нулю $2x^2 - 3 = 0$, тогда $x^2 = \frac{3}{2}$ и $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \approx \pm 1.22$. На отрезке $[1; 9]$ есть точка $x = \sqrt{\frac{3}{2}}$. Проверим значение функции на концах отрезка и в точке экстремума. $y(1) = \frac{2}{3} - 3 + 1 = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ $y(9) = \frac{2}{3} \cdot 9^3 - 3 \cdot 9 + 1 = \frac{2}{3} \cdot 729 - 27 + 1 = 2 \cdot 243 - 26 = 486 - 26 = 460$ $y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (\sqrt{\frac{3}{2}})^3 - 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \frac{2}{3} (\frac{3}{2})\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = -2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \approx -2 \cdot 1.22 + 1 \approx -2.44 + 1 = -1.44$ Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно $-1.44$.