Докажи, что треугольники ABC и CDA равны, если отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам.

102. Давай докажем, что $\triangle ABC = \triangle CDA$. По условию, отрезки $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что точка пересечения, которую мы назовём $O$, является серединой обоих отрезков. Тогда: $AO = OC$ и $BO = OD$. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$: 1. $AO = OC$ (по условию) 2. $BO = OD$ (по условию) 3. $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы) Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Аналогично, можно доказать равенство треугольников $BOC$ и $DOA$: 1. $BO = OD$ (по условию) 2. $CO = OA$ (по условию) 3. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы) Следовательно, $\triangle BOC = \triangle DOA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$: $AB = CD$ (так как $\triangle AOB = \triangle COD$) $BC = DA$ (так как $\triangle BOC = \triangle DOA$) $AC$ - общая сторона. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). **Что и требовалось доказать.**