Докажи, что прямая NP параллельна плоскости а. Найди длину отрезка АВ, если длина отрезка NP равна 24, а точка А делит сторону MN в отношении 1: 3 начиная от вершины N. Установи взаимное расположение прямых NP и МТ. Найди угол между прямыми MS и LP. Докажи, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.

## Задание 1 а) Поскольку прямые $AB$ и $NP$ параллельны, а прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая $NP$ параллельна плоскости $\alpha$. б) Допущение: Точка $A$ делит сторону $MN$ в отношении $1:3$, считая от вершины $N$, значит $\frac{NA}{AM} = \frac{1}{3}$. Так как $AB \parallel NP$, то $\triangle MAB \sim \triangle MNP$ (по двум углам). Из подобия следует, что $\frac{MA}{MN} = \frac{AB}{NP}$. Выразим отношение $\frac{MA}{MN}$ через данное отношение $\frac{NA}{AM} = \frac{1}{3}$. Пусть $NA = x$, тогда $AM = 3x$, и $MN = NA + AM = x + 3x = 4x$. Следовательно, $\frac{MA}{MN} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$. Тогда $\frac{AB}{NP} = \frac{3}{4}$, и $AB = \frac{3}{4} NP = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18$. **Ответ: $AB = 18$** ## Задание 2 а) Прямые $NP$ и $MT$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. б) Допущение: $MS$ и $LP$ - диагонали граней куба. Так как $MS \parallel NR$ и $LP \parallel NK$, а угол $\angle RNK = 90^\circ$, то и угол между прямыми $MS$ и $LP$ равен $90^\circ$. **Ответ: $90^\circ$** ## Задание 3 Пусть $KN = NM = SR = RP = a$. Обозначим середины ребер $KN, NM, SR, RP$ как точки $A, B, C, D$ соответственно. Тогда $KA = AN = NB = BM = SC = CR = RD = DP = \frac{a}{2}$. Четырехугольник $ABCD$ - это плоский четырехугольник, так как все его вершины лежат в плоскости, параллельной плоскости $KSRP$. Рассмотрим треугольники $KAS$ и $MBR$. Они равны по двум сторонам и углу между ними ($KA = MB = \frac{a}{2}$, $KS = MR = a$, $\angle K = \angle M = 90^\circ$). Следовательно, $AS = BR$. Аналогично, треугольники $NCR$ и $PDA$ равны, и $NC = PD$. Так как $ABCD$ - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, то $ABCD$ - параллелограмм.