Найди гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15°.

1. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, гипотенузой $AB$, высотой $CH = 1$ см и углом $A = 15^\circ$. Тогда угол $B = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$. 2. Выразим гипотенузу $AB$ через высоту $CH$ и синус угла $A$: $\sin A = \frac{CH}{AC}$, откуда $AC = \frac{CH}{\sin A} = \frac{1}{\sin 15^\circ}$. 3. Выразим гипотенузу $AB$ через катет $AC$ и косинус угла $A$: $\cos A = \frac{AC}{AB}$, откуда $AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{1}{\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ}$. 4. Используем формулу двойного угла: $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$, тогда $\sin A \cos A = \frac{\sin 2A}{2}$. В нашем случае: $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$. 5. Подставим полученное значение в формулу для $AB$: $AB = \frac{1}{1/4} = 4$ см. **Ответ: Гипотенуза равна 4 см.** --- 2. **Допущение:** Четырехугольник $ABCD$ — это прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, треугольник $BMC$ — равнобедренный, и углы $MBC$ и $MCB$ равны. Так как $\angle BMC = 90^\circ$, то $\angle MBC = \angle MCB = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом $90^\circ$. **Ответ: Угол между диагоналями равен 90 градусов.** --- 3. Чтобы построить фигуры, симметричные данным относительно точки $O$, нужно для каждой вершины фигуры провести отрезок через точку $O$ и отложить на этом отрезке с другой стороны от точки $O$ отрезок такой же длины. Полученные точки будут симметричны исходным вершинам относительно точки $O$. Соединив симметричные точки, получим фигуры, симметричные данным.