Докажи, что $\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3$ и упрости выражение $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$

Задача 53.2 Докажем, что $\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3$. Пусть $x = \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}$. Тогда: $x^3 = (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^3 = (\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}})^3 + 3(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}})^2(\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}) + 3(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}})(\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^2 + (\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}})^3 = 9 + \sqrt{80} + 3\sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})^2(9 - \sqrt{80})} + 3\sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 - \sqrt{80})^2} + 9 - \sqrt{80} = 18 + 3\sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 + \sqrt{80})(9 - \sqrt{80})} + 3\sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(9 - \sqrt{80})(9 - \sqrt{80})} = 18 + 3\sqrt[3]{(9 + \sqrt{80})(81 - 80)} + 3\sqrt[3]{(81 - 80)(9 - \sqrt{80})} = 18 + 3\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + 3\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 18 + 3(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}) = 18 + 3x$. Тогда $x^3 = 18 + 3x$, значит $x^3 - 3x - 18 = 0$. Подбором находим корень $x = 3$. Делим $x^3 - 3x - 18$ на $x - 3$: $\begin{array}{c|l} x^3 - 3x - 18 & x - 3 \\ \hline x^3 - 3x^2 & x^2 + 3x + 6 \\ \hline 3x^2 - 3x - 18 \\ 3x^2 - 9x \\ \hline 6x - 18 \\ 6x - 18 \\ \hline 0 \end{array}$ Получаем $x^2 + 3x + 6 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0$, поэтому других вещественных корней нет. Следовательно, $x = 3$. Задача 54.2 Упростим выражение: $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$. $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a+b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{(a-b)(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) - (a+b)(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{a\sqrt[3]{a} + a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{a} - b\sqrt[3]{b} - a\sqrt[3]{a} + a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{b}}{(\sqrt[3]{a})^2 - (\sqrt[3]{b})^2} = \frac{2a\sqrt[3]{b} - 2b\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} = \frac{2(\sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{b^3}\sqrt[3]{a})}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} = 2\frac{\sqrt[3]{a^3b} - \sqrt[3]{ab^3}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} = 2\frac{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} = 2\sqrt[3]{ab}$. **Ответ:** Задача 53.2: $\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3$ доказано. Задача 54.2: $2\sqrt[3]{ab}$