Решаю уравнения с модулем:
а) $|3x + 2| = 4$
Рассмотрим два случая:
1) $3x + 2 = 4$
$3x = 4 - 2$
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
2) $3x + 2 = -4$
$3x = -4 - 2$
$3x = -6$
$x = -2$
**Ответ: $x = \frac{2}{3}$ или $x = -2$**
б) $|125x - 34| = -2$
Модуль числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений.
**Ответ: нет решений**
в) $|x^2 + x| = 0$
Модуль равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю:
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда два решения:
1) $x = 0$
2) $x + 1 = 0$, значит $x = -1$
**Ответ: $x = 0$ или $x = -1$**
г) $||x + 3| - 4| = 1$
Рассмотрим два случая:
1) $|x + 3| - 4 = 1$
$|x + 3| = 5$
Здесь тоже два случая:
$x + 3 = 5$ или $x + 3 = -5$
$x = 2$ или $x = -8$
2) $|x + 3| - 4 = -1$
$|x + 3| = 3$
И снова два случая:
$x + 3 = 3$ или $x + 3 = -3$
$x = 0$ или $x = -6$
**Ответ: $x = 2$, $x = -8$, $x = 0$ или $x = -6$**
д) $|||x - 3| + 3| - 3| = 3$
$||x - 3| + 3 - 3| = 3$
$||x - 3| | = 3$
$|x - 3| = 3$
Рассмотрим два случая:
1) $x - 3 = 3$
$x = 6$
2) $x - 3 = -3$
$x = 0$
**Ответ: $x = 6$ или $x = 0$**
е) $|10 - |x - 1|| = 8$
Рассмотрим два случая:
1) $10 - |x - 1| = 8$
$|x - 1| = 2$
Здесь тоже два случая:
$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$
$x = 3$ или $x = -1$
2) $10 - |x - 1| = -8$
$|x - 1| = 18$
И снова два случая:
$x - 1 = 18$ или $x - 1 = -18$
$x = 19$ или $x = -17$
**Ответ: $x = 3$, $x = -1$, $x = 19$ или $x = -17$**
ж) $|x - 1| + |5 - x| = 18$
Рассмотрим случаи раскрытия модулей:
1) Если $x < 1$, то $|x - 1| = 1 - x$ и $|5 - x| = 5 - x$.
$1 - x + 5 - x = 18$
$6 - 2x = 18$
$-2x = 12$
$x = -6$ (подходит, так как $-6 < 1$)
2) Если $1 \le x \le 5$, то $|x - 1| = x - 1$ и $|5 - x| = 5 - x$.
$x - 1 + 5 - x = 18$
$4 = 18$ (неверно, нет решений)
3) Если $x > 5$, то $|x - 1| = x - 1$ и $|5 - x| = x - 5$.
$x - 1 + x - 5 = 18$
$2x - 6 = 18$
$2x = 24$
$x = 12$ (подходит, так как $12 > 5$)
**Ответ: $x = -6$ или $x = 12$**
з) $|x - 3| + |x + 1| = 4$
Рассмотрим случаи раскрытия модулей:
1) Если $x < -1$, то $|x - 3| = 3 - x$ и $|x + 1| = -x - 1$.
$3 - x - x - 1 = 4$
$2 - 2x = 4$
$-2x = 2$
$x = -1$ (не подходит, так как $x < -1$)
2) Если $-1 \le x \le 3$, то $|x - 3| = 3 - x$ и $|x + 1| = x + 1$.
$3 - x + x + 1 = 4$
$4 = 4$ (верно, значит, все $x$ из этого интервала являются решениями)
3) Если $x > 3$, то $|x - 3| = x - 3$ и $|x + 1| = x + 1$.
$x - 3 + x + 1 = 4$
$2x - 2 = 4$
$2x = 6$
$x = 3$ (не подходит, так как $x > 3$)
**Ответ: $-1 \le x \le 3$**
и) $|9 - x| + |1 + x| = 8$
Рассмотрим случаи раскрытия модулей:
1) Если $x < -1$, то $|9 - x| = 9 - x$ и $|1 + x| = -x - 1$.
$9 - x - x - 1 = 8$
$8 - 2x = 8$
$-2x = 0$
$x = 0$ (не подходит, так как $x < -1$)
2) Если $-1 \le x \le 9$, то $|9 - x| = 9 - x$ и $|1 + x| = x + 1$.
$9 - x + x + 1 = 8$
$10 = 8$ (неверно, нет решений)
3) Если $x > 9$, то $|9 - x| = x - 9$ и $|1 + x| = x + 1$.
$x - 9 + x + 1 = 8$
$2x - 8 = 8$
$2x = 16$
$x = 8$ (не подходит, так как $x > 9$)
**Ответ: нет решений**
к) $||3x + 2| - 4| = x$
Рассмотрим два случая:
1) $|3x + 2| - 4 = x$
$|3x + 2| = x + 4$
Здесь снова два случая:
а) $3x + 2 = x + 4$
$2x = 2$
$x = 1$
б) $3x + 2 = -x - 4$
$4x = -6$
$x = -\frac{3}{2}$
2) $|3x + 2| - 4 = -x$
$|3x + 2| = 4 - x$
И снова два случая:
а) $3x + 2 = 4 - x$
$4x = 2$
$x = \frac{1}{2}$
б) $3x + 2 = x - 4$
$2x = -6$
$x = -3$
Проверим найденные значения:
1) $x = 1$: $||3(1) + 2| - 4| = |5 - 4| = 1$ (верно)
2) $x = -\frac{3}{2}$: $||3(-\frac{3}{2}) + 2| - 4| = ||-\frac{9}{2} + 2| - 4| = ||-\frac{5}{2}| - 4| = |\frac{5}{2} - 4| = |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2} \ne -\frac{3}{2}$ (неверно)
3) $x = \frac{1}{2}$: $||3(\frac{1}{2}) + 2| - 4| = |\frac{3}{2} + 2 - 4| = |\frac{7}{2} - 4| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ (верно)
4) $x = -3$: $||3(-3) + 2| - 4| = ||-9 + 2| - 4| = ||-7| - 4| = |7 - 4| = 3 \ne -3$ (неверно)
**Ответ: $x = 1$ или $x = \frac{1}{2}$**
