Докажи, что в параллелограмме APCQ четырехугольник APCQ – параллелограмм и что AN = NC.

Конечно, давай разберемся с этими задачами по геометрии! 383. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB = QD. Докажи, что четырехугольник APCQ — параллелограмм. *Решение:* 1. Так как ABCD — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$, $BC \parallel AD$ и $BC = AD$. 2. Рассмотрим треугольники $ \triangle BPC$ и $ \triangle DQA$. У них $PB = QD$ (по условию), $\angle PBC = \angle QDA$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD), $BC = AD$ (как стороны параллелограмма). Следовательно, $ \triangle BPC = \triangle DQA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 3. Из равенства треугольников следует, что $PC = AQ$ и $\angle BCP = \angle DAQ$. 4. Аналогично можно доказать, что $AP = CQ$ и $\angle CAP = \angle ACQ$. 5. Таким образом, в четырехугольнике APCQ противоположные стороны попарно равны ($PC = AQ$ и $AP = CQ$). Значит, APCQ — параллелограмм по признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм). **Ответ:** Четырехугольник APCQ - параллелограмм. 384. Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что AN = NC. *Решение:* 1. **Допущение:** Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $BC$, пересекает $AC$ в точке $N$. 2. Так как $MN \parallel BC$ (по условию) и $M$ — середина $AB$, то по теореме Фалеса (или по теореме о пропорциональных отрезках) $N$ также является серединой $AC$. 3. Следовательно, $AN = NC$. **Ответ:** $AN = NC$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!