Сделай все номера варианта II

Давай решим все задания по порядку! 1. Чтобы определить, какому промежутку (0 < a < 1 или a > 1) принадлежит число $a$, нужно посмотреть на неравенства: 1) $a^{-8.5} < 1$. Это возможно, когда $a > 1$, потому что отрицательная степень числа больше 1 будет меньше 1. 2) $a^{\frac{4}{3}} < 1$. Это возможно, когда 0 < $a$ < 1, потому что степень числа меньше 1 будет меньше 1. 2. Вычислим: 1) $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$ 2) $2\left(2\frac{1}{3}\right)^{-3} = 2\left(\frac{7}{3}\right)^{-3} = 2 \cdot \frac{3^3}{7^3} = 2 \cdot \frac{27}{343} = \frac{54}{343}$ 3) $3 \cdot 25^{-\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{25}} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ 4) $4 \cdot 3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} = 4 \cdot 3 \cdot (2^3)^{\frac{2}{3}} = 4 \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48$ 5) $3^{-2} \cdot 81^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3^2} \cdot (3^4)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}$ 6) $16^{\frac{3}{4}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = (2^4)^{\frac{3}{4}} - (2^{-4})^{-\frac{3}{4}} + 2^4 = 2^3 - 2^3 + 16 = 8 - 8 + 16 = 16$ 7) $(16^{-0.25} - 3^{-0.5}) \cdot \left(16^{-0.25} + \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\right) = (\frac{1}{\sqrt[4]{16}} - \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (\frac{1}{\sqrt[4]{16}} + \sqrt{3}) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (\frac{1}{2} + \sqrt{3}) = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{3}} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 = \frac{3 + 4\sqrt{3} - 12}{12} = \frac{4\sqrt{3} - 9}{12}$ 3. Представим в виде степени с основанием $a > 0$: 8) $\sqrt[5]{a^4} \cdot \sqrt[10]{a^7} = a^{\frac{4}{5}} \cdot a^{\frac{7}{10}} = a^{\frac{8}{10} + \frac{7}{10}} = a^{\frac{15}{10}} = a^{\frac{3}{2}}$ 9) $\sqrt[8]{a^7} : \sqrt{a^{-3}} = a^{\frac{7}{8}} : a^{-\frac{3}{2}} = a^{\frac{7}{8} + \frac{3}{2}} = a^{\frac{7}{8} + \frac{12}{8}} = a^{\frac{19}{8}}$ 10) $\left(\sqrt[4]{a^3}\right)^8 = (a^{\frac{3}{4}})^8 = a^{\frac{3}{4} \cdot 8} = a^6$ 11) $a^{\frac{1}{15}} \cdot \sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{15}} \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{1}{15} + \frac{3}{15}} = a^{\frac{4}{15}}$ 12) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a}} = (a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{9}}$ 4. Выполним действия (a > 0, b > 0): 13) $5\left(\frac{1}{\sqrt[4]{ab}}\right)^8 = 5 \cdot \frac{1}{(\sqrt[4]{ab})^8} = 5 \cdot \frac{1}{(ab)^2} = \frac{5}{a^2b^2}$ 14) $ab^{\frac{6}{5}} \cdot \sqrt[81]{a^5}b^{-\frac{1}{3}} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3ab} \cdot b^{\frac{3}{9}} \cdot ab^2 = a^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{6}{5}} \cdot a^{\frac{5}{81}} \cdot b^{-\frac{1}{3}} \cdot a^2 \cdot (3ab)^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot ab^2 = a^{\frac{5}{6} + \frac{5}{81} + 2 + 1 + \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{6}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 2} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{671}{162}} \cdot b^{\frac{97}{10}} \cdot \sqrt{3}$ 5. При каких значениях $a$ равенство верно: 15) $\sqrt[4]{a} = a^4 ento a^{\frac{1}{4}} = a^4$, значит $a = 0$ или $a = 1$. 16) $\sqrt[5]{a} = a^{\frac{1}{5}} = a^5$, значит $a = 0$ или $a = 1$. 17) $\sqrt[5]{(3 + a)^3} = (3 + a)^{\frac{3}{5}} = (3 + a)^{\frac{3}{5}}$. Равенство верно при любом $a$. 18) $\sqrt[7]{(1 - a)^{-5}} = (1 - a)^{\frac{-5}{7}} = (1 - a)^{\frac{5}{7}}$. Это неверно, так как степени разные. 6. Сравним числа: 19) $(0.2)^{-\frac{1}{3}}$ и $(0.2)^{-0.3}$. Так как $-0.3 > -\frac{1}{3}$, то $(0.2)^{-0.3} > (0.2)^{-\frac{1}{3}}$ 20) $9.7^{\frac{5}{6}}$ и $9.7^{\frac{6}{7}}$. Так как $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$, то $9.7^{\frac{5}{6}} < 9.7^{\frac{6}{7}}$ 21) $1$ и $(0.283)^{-8}$. Так как $(0.283)^{-8} > 1$, то $(0.283)^{-8} > 1$. 7. Решим уравнение: 22) $\sqrt[4]{27} = \left(\frac{1}{9}\right)^x$. $3^{\frac{3}{4}} = (3^{-2})^x$, $3^{\frac{3}{4}} = 3^{-2x}$, значит $-2x = \frac{3}{4}$, $x = -\frac{3}{8}$. 23) $7^{3x} = \sqrt[5]{49}$. $7^{3x} = 7^{\frac{2}{5}}$, значит $3x = \frac{2}{5}$, $x = \frac{2}{15}$. 8. Зная, что $0.7^x = 5$, найдем $0.7^{2x + 1}$. $0.7^{2x + 1} = 0.7^{2x} \cdot 0.7 = (0.7^x)^2 \cdot 0.7 = 5^2 \cdot 0.7 = 25 \cdot 0.7 = 17.5$. **Ответы:** 1: 1) $a > 1$, 2) $0 < a < 1$ 2: 1) $-\frac{8}{27}$, 2) $\frac{54}{343}$, 3) $\frac{3}{5}$, 4) $48$, 5) $\frac{1}{3}$, 6) $16$, 7) $\frac{4\sqrt{3} - 9}{12}$ 3: 8) $a^{\frac{3}{2}}$, 9) $a^{\frac{19}{8}}$, 10) $a^6$, 11) $a^{\frac{4}{15}}$, 12) $a^{\frac{1}{9}}$ 4: 13) $\frac{5}{a^2b^2}$, 14) $a^{\frac{671}{162}} \cdot b^{\frac{97}{10}} \cdot \sqrt{3}$ 5: 15) $a = 0$ или $a = 1$, 16) $a = 0$ или $a = 1$, 17) при любом $a$, 18) неверно 6: 19) $(0.2)^{-0.3} > (0.2)^{-\frac{1}{3}}$, 20) $9.7^{\frac{5}{6}} < 9.7^{\frac{6}{7}}$, 21) $(0.283)^{-8} > 1$ 7: 22) $x = -\frac{3}{8}$, 23) $x = \frac{2}{15}$ 8: 24) $17.5$