Найди промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f(x) = 1 + 72x + 3x²-2x3.

1) a) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции и точек экстремума функции $f(x) = 1 + 72x + 3x^2 - 2x^3$, нужно найти её первую производную и исследовать её знак. $f'(x) = 72 + 6x - 6x^2$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $72 + 6x - 6x^2 = 0$ $-6x^2 + 6x + 72 = 0$ $x^2 - x - 12 = 0$ $(x - 4)(x + 3) = 0$ Критические точки: $x = 4$ и $x = -3$. Теперь определим знаки производной на промежутках, чтобы установить промежутки возрастания и убывания: - При $x < -3$, например $x = -4$, $f'(-4) = (-4 - 4)(-4 + 3) = (-8)(-1) = 8 > 0$, функция возрастает. - При $-3 < x < 4$, например $x = 0$, $f'(0) = (0 - 4)(0 + 3) = -12 < 0$, функция убывает. - При $x > 4$, например $x = 5$, $f'(5) = (5 - 4)(5 + 3) = (1)(8) = 8 > 0$, функция возрастает. Таким образом: - Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[4; +\infty)$. - Функция убывает на промежутке $[-3; 4]$. - Точка максимума: $x = -3$. - Точка минимума: $x = 4$. б) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 25x}{x + 2}$: $f'(x) = \frac{(2x - 25)(x + 2) - (x^2 - 25x)}{(x + 2)^2}$ $f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 25x - 50 - x^2 + 25x}{(x + 2)^2}$ $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 50}{(x + 2)^2}$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $x^2 + 4x - 50 = 0$ Используем квадратное уравнение: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-50)}}{2(1)}$ $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 200}}{2}$ $x = \frac{-4 \pm \sqrt{216}}{2}$ $x = \frac{-4 \pm 6\sqrt{6}}{2}$ $x = -2 \pm 3\sqrt{6}$ Критические точки: $x_1 = -2 - 3\sqrt{6} \approx -9.35$ и $x_2 = -2 + 3\sqrt{6} \approx 5.35$. Определим знаки производной на промежутках: - При $x < -9.35$, например $x = -10$, $f'(-10) = \frac{(-10)^2 + 4(-10) - 50}{(-10 + 2)^2} = \frac{100 - 40 - 50}{64} = \frac{10}{64} > 0$, функция возрастает. - При $-9.35 < x < -2$, например $x = -3$, $f'(-3) = \frac{(-3)^2 + 4(-3) - 50}{(-3 + 2)^2} = \frac{9 - 12 - 50}{1} = -53 < 0$, функция убывает. - При $-2 < x < 5.35$, например $x = 0$, $f'(0) = \frac{0^2 + 4(0) - 50}{(0 + 2)^2} = \frac{-50}{4} < 0$, функция убывает. - При $x > 5.35$, например $x = 6$, $f'(6) = \frac{6^2 + 4(6) - 50}{(6 + 2)^2} = \frac{36 + 24 - 50}{64} = \frac{10}{64} > 0$, функция возрастает. Таким образом: - Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2 - 3\sqrt{6}]$ и $[-2 + 3\sqrt{6}; +\infty)$. - Функция убывает на промежутках $[-2 - 3\sqrt{6}; -2)$ и $(-2; -2 + 3\sqrt{6}]$. - Точка максимума: $x = -2 - 3\sqrt{6}$. - Точка минимума: $x = -2 + 3\sqrt{6}$. 2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{30}{x} - 5x$ на промежутке $[1; 5]$, нужно вычислить значение функции в критических точках и на концах промежутка. $f'(x) = -\frac{30}{x^2} - 5$ Приравняем производную к нулю: $-\frac{30}{x^2} - 5 = 0$ $-\frac{30}{x^2} = 5$ $x^2 = -\frac{30}{5}$ $x^2 = -6$ Уравнение не имеет действительных решений, следовательно, критических точек нет. Вычислим значения на концах промежутка: $f(1) = \frac{30}{1} - 5(1) = 30 - 5 = 25$ $f(5) = \frac{30}{5} - 5(5) = 6 - 25 = -19$ Таким образом: - Наибольшее значение: $25$. - Наименьшее значение: $-19$. 3) Чтобы найти точку максимума функции $f(x) = (-9x + 12)\cos x + 9\sin x + 28$ на промежутке $(0; 2\pi)$, нужно найти её первую производную и исследовать её знак. $f'(x) = -9\cos x + (-9x + 12)(-\sin x) + 9\cos x$ $f'(x) = -9\cos x + 9x\sin x - 12\sin x + 9\cos x$ $f'(x) = 9x\sin x - 12\sin x$ $f'(x) = (9x - 12)\sin x$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $(9x - 12)\sin x = 0$ Решения: - $\sin x = 0$, следовательно, $x = 0, \pi, 2\pi$. - $9x - 12 = 0$, следовательно, $x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$. Учитывая промежуток $(0; 2\pi)$, критические точки: $x = \pi$ и $x = \frac{4}{3}$. Определим знаки производной на промежутках: - При $0 < x < \frac{4}{3}$, например $x = 1$, $f'(1) = (9(1) - 12)\sin(1) = -3\sin(1) < 0$, функция убывает. - При $\frac{4}{3} < x < \pi$, например $x = 2$, $f'(2) = (9(2) - 12)\sin(2) = 6\sin(2) > 0$, функция возрастает. - При $\pi < x < 2\pi$, например $x = 4$, $f'(4) = (9(4) - 12)\sin(4) = 24\sin(4) < 0$, функция убывает. Таким образом, точка максимума $x = \frac{4}{3}$. 4) Дано, что материальная точка движется по закону $s(t) = 4t^2 - 2t + 1$. Чтобы найти её скорость в момент времени $t = 4$ с, нужно найти производную $s(t)$ по времени, то есть $v(t)$. $v(t) = s'(t) = 8t - 2$ Теперь найдем скорость в момент времени $t = 4$: $v(4) = 8(4) - 2 = 32 - 2 = 30$ Таким образом, скорость материальной точки в момент времени $t = 4$ с равна 30 м/с. 5) Чтобы найти количество точек, в которых касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна прямой $f(x) = 2x - 15$, нужно найти точки, в которых производная $f(x)$ равна угловому коэффициенту прямой $2x - 15$, то есть 2. На графике производной нужно найти количество точек, где $f'(x) = 2$. По графику видно, что прямая $y = 2$ пересекает график производной в двух точках. Следовательно, количество точек, в которых касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна прямой $f(x) = 2x - 15$, равно 2. 6) Пусть $x$ и $y$ - два положительных числа, такие, что $x + y = 48$. Нам нужно найти такие $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = xy$ было наибольшим. Выразим $y$ через $x$: $y = 48 - x$. Тогда $P = x(48 - x) = 48x - x^2$. Чтобы найти максимум $P$, возьмем производную $P$ по $x$ и приравняем её к нулю: $P'(x) = 48 - 2x$ $48 - 2x = 0$ $2x = 48$ $x = 24$ Тогда $y = 48 - x = 48 - 24 = 24$. Таким образом, $x = 24$ и $y = 24$, и их произведение будет наибольшим: $P = 24 \cdot 24 = 576$.