Докажи, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Чтобы доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований, нужно воспользоваться свойствами средней линии трапеции и подобных треугольников. Вот основные шаги: 1. **Обозначения:** Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. 2. **Доказательство параллельности:** * Проведём отрезок $MN$. Нужно доказать, что $MN$ параллелен основаниям $AD$ и $BC$. * Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AC$, то можно провести отрезок $ME$ параллельно $BC$ до пересечения с $AB$ в точке $E$. Тогда $E$ — середина $AB$ (по теореме Фалеса). * Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $N$ — середина $BD$, то $EN$ будет средней линией этого треугольника и, следовательно, $EN$ параллельна $AD$. * Поскольку $ME$ параллельна $BC$ и $EN$ параллельна $AD$, а $AD$ и $BC$ параллельны (как основания трапеции), то $ME$ и $EN$ лежат на одной прямой, и $MN$ параллельна основаниям трапеции. 3. **Доказательство равенства полуразности:** * Длина $ME$ равна половине длины $BC$ (так как $ME$ — средняя линия треугольника $ABC$): $$ME = \frac{1}{2}BC$$ * Длина $EN$ равна половине длины $AD$ (так как $EN$ — средняя линия треугольника $ABD$): $$EN = \frac{1}{2}AD$$ * Длина отрезка $MN$ равна разности длин $EN$ и $ME$: $$MN = EN - ME = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD - BC)$$ Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.