Помоги мне найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если q = -1/2, b₁ = 1/8

Конечно, давай решим! Нам нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это такая прогрессия, где каждый следующий член меньше предыдущего, и они все стремятся к нулю. Для этого есть специальная формула: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — это знаменатель прогрессии (число, на которое мы умножаем каждый предыдущий член, чтобы получить следующий). 1) У нас $q = -\frac{1}{2}$ и $b_1 = \frac{1}{8}$. Подставляем в формулу: $$S = \frac{\frac{1}{8}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$$ 2) У нас $q = \frac{1}{3}$, но дан $b_5 = \frac{1}{81}$ (пятый член). Сначала найдем $b_1$. Мы знаем, что $b_5 = b_1 \cdot q^4$. Поэтому: $$\frac{1}{81} = b_1 \cdot (\frac{1}{3})^4 = b_1 \cdot \frac{1}{81}$$ Отсюда видно, что $b_1 = 1$. Теперь можем найти сумму: $$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$$ 3) У нас $q = -\frac{1}{3}$ и $b_1 = 9$. Подставляем в формулу: $$S = \frac{9}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$$ 4) У нас $q = -\frac{1}{2}$, но дан $b_4 = \frac{1}{8}$ (четвертый член). Сначала найдем $b_1$. Мы знаем, что $b_4 = b_1 \cdot q^3$. Поэтому: $$\frac{1}{8} = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})^3 = b_1 \cdot (-\frac{1}{8})$$ Отсюда видно, что $b_1 = -1$. Теперь можем найти сумму: $$S = \frac{-1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$$ **Ответы:** 1) $\frac{1}{12}$ 2) $\frac{3}{2}$ 3) $\frac{27}{4}$ 4) $-\frac{2}{3}$