Question

Докажи, что четырёхугольник AECF — параллелограмм, если биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках Е и F соответственно.

Accepted Answer

Привет! Давай докажем, что AECF — параллелограмм.

Доказательство:

1.  Поскольку ABCD — параллелограмм, то углы BAD и BCD равны как противоположные углы параллелограмма, то есть $\angle BAD = \angle BCD$.

2.  AE и CF — биссектрисы углов A и C соответственно, следовательно, $\angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAD$ и $\angle DCF = \frac{1}{2} \angle BCD$. Из этого следует, что $\angle BAE = \angle DCF$.

3.  Так как ABCD — параллелограмм, то AB || CD. Значит, $\angle ABE = \angle CDE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.

4.  Рассмотрим треугольники ABE и CDF. У них: $\angle BAE = \angle DCF$ (из пункта 2) и $\angle ABE = \angle CDE$ (из пункта 3). Следовательно, треугольники ABE и CDF подобны по двум углам.

5.  Из подобия треугольников ABE и CDF следует равенство сторон: BE = DF.

6.  Теперь рассмотрим четырёхугольник AECF. Так как BE = DF, а BD — диагональ параллелограмма ABCD, то ED = BF (потому что BD = BE + ED = DF + BF).

7.  В четырёхугольнике AECF диагонали AC и EF делятся точкой пересечения пополам (так как ED = BF и AE и CF — биссектрисы). Следовательно, AECF — параллелограмм.

Докажи, что четырёхугольник AECF — параллелограмм, если биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках Е и F соответственно.

Ответ ассистента

Другие решения