Реши примеры на вычисление значений выражений и упрощение (степени, корни)

14. Давай упростим выражение: $$\frac{24^4}{32 \cdot 8^3} = \frac{(3 \cdot 8)^4}{32 \cdot 8^3} = \frac{3^4 \cdot 8^4}{32 \cdot 8^3} = \frac{3^4 \cdot 8}{32} = \frac{3^4}{4} = \frac{81}{4} = 20.25$$. 15. Упростим выражение: $(\sqrt{11}+3)^2 - 6\sqrt{11} = (11 + 6\sqrt{11} + 9) - 6\sqrt{11} = 20 + 6\sqrt{11} - 6\sqrt{11} = 20$. 16. Оценим значения: $3\sqrt{14} \approx 3 \cdot 3.74 = 11.22$ и $7\sqrt{3} \approx 7 \cdot 1.73 = 12.11$. Целые числа между ними: 12. То есть, всего одно целое число. 17. Оценим значения: $\sqrt{5} \approx 2.24$ и $\sqrt{95} \approx 9.75$. Целые числа между ними: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. То есть, всего 7 целых чисел. 18. Упростим выражение: $(2+\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3})^2 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) + (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 7 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} = 14$. 19. Упростим выражение: $$\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 7} \cdot \sqrt{2 \cdot 7}}{\sqrt{2 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 7$$. 20. Упростим выражение: $$\frac{1}{4 \cdot 10} \cdot \frac{1}{49} = \frac{1}{40} \cdot \frac{1}{49} = \frac{1}{1960}$$. 21. Упростим выражение: $a^8 \cdot a^{17} : a^{20} = a^{8+17-20} = a^5$. Подставим $a = 2$: $2^5 = 32$. 22. Упростим выражение: $\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2} = \sqrt{(a + 4b)^2} = |a + 4b|$. Подставим $a = 3\frac{3}{7} = \frac{24}{7}$ и $b = \frac{1}{7}$: $|\frac{24}{7} + 4 \cdot \frac{1}{7}| = |\frac{24}{7} + \frac{4}{7}| = \frac{28}{7} = 4$. 23. Упростим выражение: $\sqrt{\frac{1}{16} \cdot x^6 y^4} = \sqrt{\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^4} = \frac{1}{4} \cdot |x^3| \cdot y^2$. Подставим $x = 2$ и $y = 5$: $\frac{1}{4} \cdot |2^3| \cdot 5^2 = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 25 = 2 \cdot 25 = 50$.