Представь число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Конечно, давай решим эти задачи вместе! Они про поиск наибольших и наименьших значений, а это часто делается с помощью производных. Готовься, будет интересно! а) Давай представим число 3 в виде суммы двух положительных чисел $x$ и $y$, то есть $x + y = 3$. Наша цель – найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма $3x + y^3$ была как можно меньше. Выразим $x$ через $y$: $x = 3 - y$. Теперь подставим это в выражение, которое нужно минимизировать: $3(3 - y) + y^3 = 9 - 3y + y^3$. Чтобы найти минимум, возьмём производную по $y$ и приравняем её к нулю: $$(9 - 3y + y^3)' = -3 + 3y^2 = 0$$ Решаем уравнение: $3y^2 = 3$, значит, $y^2 = 1$. Отсюда $y = 1$ (так как $y$ положительное число). Теперь найдём $x$: $x = 3 - y = 3 - 1 = 2$. Чтобы убедиться, что это действительно минимум, можно взять вторую производную: $(3y^2 - 3)' = 6y$. При $y = 1$ вторая производная равна 6, что больше нуля, значит, это минимум. **Ответ:** $x = 2$, $y = 1$ б) Теперь представим число 5 в виде суммы $x + y = 5$. Нужно, чтобы произведение $x \[CDATA[\cdot]] y^3$ было наибольшим. Выразим $x$ через $y$: $x = 5 - y$. Тогда наше произведение будет $(5 - y)y^3 = 5y^3 - y^4$. Возьмём производную по $y$ и приравняем к нулю: $$(5y^3 - y^4)' = 15y^2 - 4y^3 = 0$$ Выносим $y^2$ за скобки: $y^2(15 - 4y) = 0$. Значит, либо $y = 0$, либо $15 - 4y = 0$. Так как $y$ положительное, то $y = \frac{15}{4} = 3.75$. Теперь найдём $x$: $x = 5 - y = 5 - 3.75 = 1.25$. Возьмём вторую производную, чтобы убедиться, что это максимум: $(15y^2 - 4y^3)' = 30y - 12y^2$. Подставим $y = 3.75$: $30(3.75) - 12(3.75)^2 = 112.5 - 168.75 = -56.25$. Так как вторая производная отрицательная, это максимум. **Ответ:** $x = 1.25$, $y = 3.75$