Помоги решить задачи из учебника математики: представь числа в виде суммы простых слагаемых, найди наибольший общий делитель, докажи, что числа взаимно простые и т.д.

160. Чтобы представить число в виде суммы простых чисел с минимальным количеством слагаемых, нужно использовать наибольшие простые числа, которые меньше данного числа. Например: * $10 = 5 + 5$ * $36 = 17 + 19$ * $54 = 23 + 31$ * $15 = 7 + 8 = 7 + 3 + 5$ * $27 = 13 + 14 = 13 + 7 + 7$ * $49 = 23 + 26 = 23 + 13 + 13$ 161. Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, представленных в виде произведения простых множителей, нужно взять общие множители с наименьшими степенями. а) $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$. НОД$(a, b) = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$ б) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 11 \cdot 13$. НОД$(a, b) = 3$ 162. Найдем наибольший общий делитель для каждой пары чисел: а) НОД(585, 360): * Разложим числа на простые множители: $585 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13$, $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ * НОД$(585, 360) = 3^2 \cdot 5 = 45$ б) НОД(680, 612): * Разложим числа на простые множители: $680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$, $612 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$ * НОД$(680, 612) = 2^2 \cdot 17 = 68$ в) НОД(60, 80, 48): * Разложим числа на простые множители: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $80 = 2^4 \cdot 5$, $48 = 2^4 \cdot 3$ * НОД$(60, 80, 48) = 2^2 = 4$ г) НОД(195, 156, 260): * Разложим числа на простые множители: $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$, $156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$, $260 = 2^2 \cdot 5 \cdot 13$ * НОД$(195, 156, 260) = 13$ 163. Чтобы доказать, что числа 864 и 875 взаимно простые, нужно показать, что их наибольший общий делитель равен 1. * Разложим числа на простые множители: $864 = 2^5 \cdot 3^3$, $875 = 5^3 \cdot 7$ * Так как у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Следовательно, числа 864 и 875 взаимно простые. 164. Сравним числа: а) $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{9}$. Так как знаменатели одинаковые, сравним числители: $5 < 7$, значит $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$. б) $1\frac{3}{8}$ и $1\frac{5}{6}$. Сравним дробные части: $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$. Так как $\frac{9}{24} < \frac{20}{24}$, то $1\frac{3}{8} < 1\frac{5}{6}$. в) $\frac{14}{5}$ и $2\frac{4}{5}$. Представим $\frac{14}{5}$ в виде смешанной дроби: $\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$. Значит, $\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$. 165. Строим угол $AOC$, равный $130^{\circ}$. Затем внутри этого угла проводим луч $OB$ так, чтобы угол $BOC$ был равен $40^{\circ}$. Чтобы найти угол $AOB$, нужно вычесть из угла $AOC$ угол $BOC$: $\angle AOB = \angle AOC - \angle BOC = 130^{\circ} - 40^{\circ} = 90^{\circ}$. 166. **Допущение:** Под «вдвое больше» имеется в виду, что количество слесарей вдвое превышает количество фрезеровщиков. Пусть количество фрезеровщиков равно $x$. Тогда количество слесарей равно $2x$, а количество токарей равно $3x$. Всего рабочих 840, значит: $$x + 2x + 3x = 840$$ $$6x = 840$$ $$x = 140$$ Количество токарей равно $3x = 3 \cdot 140 = 420$. 167. **Допущение:** $\frac{2}{5}$ всех вылупившихся цыплят — это петушки. * Всего яиц: 1200 * Вылупилось цыплят: $\frac{23}{24} \cdot 1200 = 1150$ * Петушки: $\frac{2}{5} \cdot 1150 = 460$ * Курочки: $1150 - 460 = 690$ 168. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: * $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ * $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$ * $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ 169. Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель: * $\frac{4}{5} = 0,8$ * $\frac{1}{8} = 0,125$ * $\frac{7}{4} = 1,75$