Реши уравнения, которые содержат выражения с модулем: 1. |x| = 4.

Решим уравнения по порядку: 1. $|x| = 4$ Это значит, что $x$ может быть равен либо 4, либо -4. Проверяем: $|4| = 4$ и $|-4| = 4$. Всё верно! **Ответ: x = 4, x = -4** 2. $|x - 2| = -2$ Модуль числа всегда неотрицательный, поэтому модуль не может быть равен отрицательному числу. Значит, у этого уравнения нет решений. **Ответ: нет решений** 3. $|x| = -x$ Это уравнение говорит о том, что модуль $x$ равен $-x$. Это возможно, когда $x$ меньше или равен нулю, потому что модуль отрицательного числа делает его положительным, то есть противоположным. **Ответ: x ≤ 0** 4. $|x| = x - 2$ Тут надо рассмотреть два случая: а) Если $x ≥ 0$, то $|x| = x$. Уравнение становится $x = x - 2$. Но это неверно, так как $0 ≠ -2$. Значит, при $x ≥ 0$ решений нет. б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение становится $-x = x - 2$. Решаем его: $$-x - x = -2$$ -$$2x = -2$$ -$$x = 1$$ Но мы рассматриваем случай, когда $x < 0$, а у нас получилось $x = 1$. Значит, и в этом случае решений нет. **Ответ: нет решений** 5. $|x - 1| = 3$ Это значит, что $x - 1$ может быть равно либо 3, либо -3. а) Если $x - 1 = 3$, то $x = 3 + 1 = 4$. б) Если $x - 1 = -3$, то $x = -3 + 1 = -2$. **Ответ: x = 4, x = -2** 6. $|3x - 5| = 2$ Это значит, что $3x - 5$ может быть равно либо 2, либо -2. а) Если $3x - 5 = 2$, то $3x = 2 + 5 = 7$, и $x = \frac{7}{3}$. б) Если $3x - 5 = -2$, то $3x = -2 + 5 = 3$, и $x = 1$. **Ответ: $x = \frac{7}{3}$, x = 1** 7. $|x + 3| = 2x - 1$ Тут тоже два случая: а) Если $x + 3 ≥ 0$, то есть $x ≥ -3$, то $|x + 3| = x + 3$. Уравнение становится $x + 3 = 2x - 1$. Решаем: $$x - 2x = -1 - 3$$ - $$-x = -4$$ - $$x = 4$$ Так как $4 > -3$, то это решение подходит. б) Если $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$, то $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение становится $-x - 3 = 2x - 1$. Решаем: $$-x - 2x = -1 + 3$$ - $$-3x = 2$$ - $$x = -\frac{2}{3}$$ Но $-\frac{2}{3}$ не меньше -3, так что это решение не подходит. **Ответ: x = 4** 8. $|x - 1| = 2x - 5$ Рассмотрим два случая: а) Если $x - 1 ≥ 0$, то есть $x ≥ 1$, то $|x - 1| = x - 1$. Уравнение становится $x - 1 = 2x - 5$. Решаем: $$x - 2x = -5 + 1$$ - $$-x = -4$$ - $$x = 4$$ Так как $4 > 1$, то это решение подходит. б) Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Уравнение становится $-x + 1 = 2x - 5$. Решаем: $$-x - 2x = -5 - 1$$ - $$-3x = -6$$ - $$x = 2$$ Но 2 не меньше 1, так что это решение не подходит. **Ответ: x = 4** 9. $|x - 2| = -x + 8$ Снова два случая: а) Если $x - 2 ≥ 0$, то есть $x ≥ 2$, то $|x - 2| = x - 2$. Уравнение становится $x - 2 = -x + 8$. Решаем: $$x + x = 8 + 2$$ - $$2x = 10$$ - $$x = 5$$ Так как $5 > 2$, то это решение подходит. б) Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Уравнение становится $-x + 2 = -x + 8$. Но это неверно, так как $2 ≠ 8$. Значит, при $x < 2$ решений нет. **Ответ: x = 5** 10. $|5 - x| = 2(2x - 5)$ Два случая: а) Если $5 - x ≥ 0$, то есть $x ≤ 5$, то $|5 - x| = 5 - x$. Уравнение становится $5 - x = 4x - 10$. Решаем: $$-x - 4x = -10 - 5$$ - $$-5x = -15$$ - $$x = 3$$ Так как $3 < 5$, то это решение подходит. б) Если $5 - x < 0$, то есть $x > 5$, то $|5 - x| = -(5 - x) = x - 5$. Уравнение становится $x - 5 = 4x - 10$. Решаем: $$x - 4x = -10 + 5$$ - $$-3x = -5$$ - $$x = \frac{5}{3}$$ Но $\frac{5}{3}$ не больше 5, так что это решение не подходит. **Ответ: x = 3** 11. $2|x - 4| = 3x + 1$ Снова рассматриваем два случая: а) Если $x - 4 ≥ 0$, то есть $x ≥ 4$, то $|x - 4| = x - 4$. Уравнение становится $2(x - 4) = 3x + 1$. Решаем: $$2x - 8 = 3x + 1$$ - $$2x - 3x = 1 + 8$$ - $$-x = 9$$ - $$x = -9$$ Но -9 не больше 4, значит, этот случай не подходит. б) Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$, то $|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4$. Уравнение становится $2(-x + 4) = 3x + 1$. Решаем: $$-2x + 8 = 3x + 1$$ - $$-2x - 3x = 1 - 8$$ - $$-5x = -7$$ - $$x = \frac{7}{5} = 1,4$$ Так как $1,4 < 4$, то это решение подходит. **Ответ: $x = 1,4$** 12. $|1 - 2x| - 4x = -6$ Рассмотрим два случая: а) Если $1 - 2x ≥ 0$, то есть $x ≤ \frac{1}{2}$, то $|1 - 2x| = 1 - 2x$. Уравнение становится $1 - 2x - 4x = -6$. Решаем: $$1 - 6x = -6$$ - $$-6x = -7$$ - $$x = \frac{7}{6}$$ Но $\frac{7}{6}$ не меньше $\frac{1}{2}$, значит, этот случай не подходит. б) Если $1 - 2x < 0$, то есть $x > \frac{1}{2}$, то $|1 - 2x| = -(1 - 2x) = -1 + 2x$. Уравнение становится $-1 + 2x - 4x = -6$. Решаем: $$-1 - 2x = -6$$ - $$-2x = -5$$ - $$x = \frac{5}{2} = 2,5$$ Так как $2,5 > \frac{1}{2}$, то это решение подходит. **Ответ: $x = 2,5$** 13. $|3x + 1| + x = 9$ Два случая: а) Если $3x + 1 ≥ 0$, то есть $x ≥ -\frac{1}{3}$, то $|3x + 1| = 3x + 1$. Уравнение становится $3x + 1 + x = 9$. Решаем: $$4x + 1 = 9$$ - $$4x = 8$$ - $$x = 2$$ Так как $2 > -\frac{1}{3}$, то это решение подходит. б) Если $3x + 1 < 0$, то есть $x < -\frac{1}{3}$, то $|3x + 1| = -(3x + 1) = -3x - 1$. Уравнение становится $-3x - 1 + x = 9$. Решаем: $$-2x - 1 = 9$$ - $$-2x = 10$$ - $$x = -5$$ Так как $-5 < -\frac{1}{3}$, то это решение подходит. **Ответ: x = 2, x = -5** 14. $|x| = |x + 0,5|$ Тут четыре случая, но можно заметить, что если модули равны, то либо выражения равны, либо противоположны: а) $x = x + 0,5$. Это неверно, так как $0 ≠ 0,5$. б) $x = -(x + 0,5) = -x - 0,5$. Решаем: $$x + x = -0,5$$ - $$2x = -0,5$$ - $$x = -0,25$$ **Ответ: x = -0,25** 15. $|x + 4| = |x - 3|$ Аналогично предыдущему: а) $x + 4 = x - 3$. Это неверно, так как $4 ≠ -3$. б) $x + 4 = -(x - 3) = -x + 3$. Решаем: $$x + x = 3 - 4$$ - $$2x = -1$$ - $$x = -0,5$$ **Ответ: x = -0,5** 16. $|6 - x| = |x - 9|$ Снова: а) $6 - x = x - 9$. Решаем: $$-x - x = -9 - 6$$ - $$-2x = -15$$ - $$x = 7,5$$ б) $6 - x = -(x - 9) = -x + 9$. Это неверно, так как $6 ≠ 9$. **Ответ: x = 7,5** 17. $|x + 2| = |2x - 1|$ Опять: а) $x + 2 = 2x - 1$. Решаем: $$x - 2x = -1 - 2$$ - $$-x = -3$$ - $$x = 3$$ б) $x + 2 = -(2x - 1) = -2x + 1$. Решаем: $$x + 2x = 1 - 2$$ - $$3x = -1$$ - $$x = -\frac{1}{3}$$ **Ответ: x = 3, $x = -\frac{1}{3}$** 18. $|x - 1| - 2|x + 2| = 0$ Тут надо рассмотреть три случая, потому что есть два модуля: а) Если $x < -2$, то $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$ и $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение становится $-x + 1 - 2(-x - 2) = 0$. Решаем: $$-x + 1 + 2x + 4 = 0$$ - $$x + 5 = 0$$ - $$x = -5$$ Так как $-5 < -2$, то это решение подходит. б) Если $-2 ≤ x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$ и $|x + 2| = x + 2$. Уравнение становится $-x + 1 - 2(x + 2) = 0$. Решаем: $$-x + 1 - 2x - 4 = 0$$ - $$-3x - 3 = 0$$ - $$-3x = 3$$ - $$x = -1$$ Так как $-2 ≤ -1 < 1$, то это решение подходит. в) Если $x ≥ 1$, то $|x - 1| = x - 1$ и $|x + 2| = x + 2$. Уравнение становится $x - 1 - 2(x + 2) = 0$. Решаем: $$x - 1 - 2x - 4 = 0$$ - $$-x - 5 = 0$$ - $$-x = 5$$ - $$x = -5$$ Но $-5$ не больше или равно 1, значит, это решение не подходит. **Ответ: x = -5, x = -1**