Ты просишь ответить на вопросы по геометрии: перечислить точки и плоскости на рисунке, определить истинность утверждений о точках и плоскостях, доказать утверждения о прямых и плоскостях.

2. По рисунку 9: a) Точки, лежащие в плоскостях $DCC_1$ и $BQC$: $D, C, C_1$ и $Q, B, C$ соответственно. b) Плоскости, в которых лежит прямая $AA_1$: $AA_1B_1B$ и $AA_1D_1D$. c) Точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABD$: точка $K$; прямых $DK$ и $BP$ с плоскостью $A_1B_1C_1$: точка $A_1$ и $B_1$ соответственно. d) Прямые, по которым пересекаются плоскости $AA_1B_1$ и $ACD$: $AA_1$ и $AD$; $PB_1C_1$ и $ABC$: $B_1C_1$ и $BC$. e) Точки пересечения прямых $MK$ и $DC$: нет; $BC_1$ и $BP$: точка $B$; $C_1M$ и $DC$: нет. 3. a) Неверно. Например, три точки в пространстве могут не лежать в одной плоскости. b) Неверно. Например, четыре точки в пространстве могут не лежать в одной плоскости. c) Неверно. Четыре точки всегда лежат в пространстве, поэтому они могут лежать в одной плоскости. d) Верно. 4. a) Да, могут. Например, если все четыре точки лежат на одной прямой. b) Да, могут, если прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости и не параллельны. 5. Через три данные точки, лежащие на прямой, можно провести бесконечное количество плоскостей. Существует бесконечное количество таких плоскостей. 6. Докажем, что все отрезки лежат в одной плоскости. Рассмотрим треугольник, образованный тремя данными точками. Все три точки лежат в одной плоскости, поэтому и все отрезки, соединяющие эти точки, лежат в этой плоскости. 7. Докажем, что все прямые, не проходящие через точку $M$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Рассмотрим плоскость, содержащую данные прямые. Все прямые, не проходящие через точку $M$ и пересекающие данные прямые, лежат в этой плоскости. Все прямые, проходящие через точку $M$, не лежат в одной плоскости. 8. a) Неверно. Например, окружность может не лежать в плоскости, если только две точки окружности лежат в плоскости. b) Верно. Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 9. Две другие вершины параллелограмма лежат в плоскости $\alpha$. Докажем это. Пусть $ABCD$ - параллелограмм, $A$ и $B$ - смежные вершины, $O$ - точка пересечения диагоналей. Тогда $A, B, O$ лежат в плоскости $\alpha$. Так как $O$ - середина $AC$ и $BD$, то $C$ и $D$ также лежат в плоскости $\alpha$. 10. a) Верно. b) Неверно. 11. Докажем, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости. Рассмотрим плоскость, содержащую данную точку и данную прямую. Все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в этой плоскости. 12. Плоскости, проходящие через точки $A, B, C$ и $A, B, D$, пересекаются по прямой $AB$. 13. a) Нет, не могут. b) Нет, не могут. c) Да, могут. Например, две плоскости могут пересекаться по прямой. 14. Через каждые две из трех прямых, проходящих через одну точку, проведена плоскость. Всего проведено 3 плоскости. 15. Докажем, что три прямые попарно пересекаются либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку. Рассмотрим две прямые из этих трех. Они лежат в одной плоскости. Если третья прямая лежит в этой же плоскости, то все три прямые лежат в одной плоскости. Если третья прямая не лежит в этой плоскости, то она пересекает первые две прямые в одной точке. Следовательно, все три прямые имеют общую точку.