Объясни, при каких значениях X имеет смысл выражения sqrt(x)

Привет! Сейчас помогу разобраться, при каких значениях $x$ выражения имеют смысл. Главное, помни: под квадратным корнем не должно быть отрицательных чисел. **I.** 1. $\sqrt{x}$: Выражение имеет смысл, когда $x \geq 0$ (икс больше или равно нулю). 2. $\sqrt{-x}$: Выражение имеет смысл, когда $-x \geq 0$, то есть $x \leq 0$ (икс меньше или равно нулю). 3. $\sqrt{x-5}$: Выражение имеет смысл, когда $x-5 \geq 0$, то есть $x \geq 5$ (икс больше или равно пяти). 4. $\sqrt{7+x}$: Выражение имеет смысл, когда $7+x \geq 0$, то есть $x \geq -7$ (икс больше или равно минус семи). **II.** 1. $\sqrt{3x+12}$: Выражение имеет смысл, когда $3x+12 \geq 0$. Решаем неравенство: $3x \geq -12$, значит, $x \geq -4$ (икс больше или равно минус четырём). 2. $\sqrt{16-5x}$: Выражение имеет смысл, когда $16-5x \geq 0$. Решаем неравенство: $-5x \geq -16$, значит, $x \leq \frac{16}{5}$ (икс меньше или равно шестнадцати пятых). 3. $\sqrt{7+0.2x}$: Выражение имеет смысл, когда $7+0.2x \geq 0$. Решаем неравенство: $0.2x \geq -7$, значит, $x \geq -35$ (икс больше или равно минус тридцати пяти). 4. $\sqrt{10x+120}$: Выражение имеет смысл, когда $10x+120 \geq 0$. Решаем неравенство: $10x \geq -120$, значит, $x \geq -12$ (икс больше или равно минус двенадцати). **III.** 1. $\sqrt{\frac{4x-12}{4x+16}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{4x-12}{4x+16} \geq 0$. * Находим нули числителя: $4x-12=0$, $x=3$. * Находим нули знаменателя: $4x+16=0$, $x=-4$. * Используем метод интервалов. Отмечаем точки -4 и 3 на числовой прямой и определяем знаки выражения на каждом интервале. Получаем, что $x<-4$ или $x \geq 3$. 2. $\sqrt{\frac{25-x}{x}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{25-x}{x} \geq 0$. * Находим нули числителя: $25-x=0$, $x=25$. * Находим нули знаменателя: $x=0$. * Используем метод интервалов. Отмечаем точки 0 и 25 на числовой прямой и определяем знаки выражения на каждом интервале. Получаем, что $0 < x \leq 25$. 3. $\sqrt{\frac{12x+24}{100-x}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{12x+24}{100-x} \geq 0$. * Находим нули числителя: $12x+24=0$, $x=-2$. * Находим нули знаменателя: $100-x=0$, $x=100$. * Используем метод интервалов. Отмечаем точки -2 и 100 на числовой прямой и определяем знаки выражения на каждом интервале. Получаем, что $-2 \leq x < 100$. 4. $\sqrt{\frac{4x^2-20x+25}{x^2-4}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{4x^2-20x+25}{x^2-4} \geq 0$. * Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{(2x-5)^2}{(x-2)(x+2)} \geq 0$. * $(2x-5)^2 \geq 0$ всегда, кроме случая $x = \frac{5}{2}$, когда выражение равно 0. * Знаменатель $(x-2)(x+2) > 0$ при $x < -2$ или $x > 2$. * Исключаем точки, где знаменатель равен нулю: $x \neq -2$ и $x \neq 2$. * Получаем, что $x < -2$, $-2 < x < 2$, $x > 2$, и $x = \frac{5}{2}$. 5. $\sqrt{\frac{9x^2+24x+16}{x^2-4x+4}}$: Выражение имеет смысл, когда $\frac{9x^2+24x+16}{x^2-4x+4} \geq 0$. * Разложим числитель и знаменатель на множители: $\frac{(3x+4)^2}{(x-2)^2} \geq 0$. * $(3x+4)^2 \geq 0$ всегда, кроме случая $x = -\frac{4}{3}$, когда выражение равно 0. * $(x-2)^2 > 0$ всегда, кроме случая $x = 2$, когда выражение равно 0. * Получаем, что $x \neq 2$ и $x = -\frac{4}{3}$.