Найди сторону правильного треугольника, если радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 49√3/6

1. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан со стороной $a$ формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Выразим сторону $a$ через радиус $r = \frac{49\sqrt{3}}{6}$: $$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \frac{49\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{3}} = 49$$ 2. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне. Радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной $a$ соотношением $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Выразим сторону $a$ через радиус $r = 10\sqrt{3}$: $$a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$$ 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AC = 37,5$ и $BC = 20$ найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{37,5^2 + 20^2} = \sqrt{1406,25 + 400} = \sqrt{1806,25} = 42,5$$ Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле: $$r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{37,5 + 20 - 42,5}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$$ 4. **Допущение:** Трапеция равнобедренная. В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания $a$ и $b$, боковые стороны $c$ и $d$, где $d = 7$. Периметр $P = a + b + c + d = 22$. Тогда $a + b = c + d$, и $2(c + d) = 22$, откуда $c + 7 = 11$, значит $c = 4$. Высота трапеции равна $2r$, где $r$ - радиус вписанной окружности. Также высота равна $c$, то есть $2r = 4$, следовательно, $r = 2$. 5. Даны векторы $\vec{a} = (2; 1)$, $\vec{b} = (2; -4)$. Найдем вектор $\vec{a} + \vec{b} = (2+2; 1-4) = (4; -3)$. Найдем вектор $7\vec{a} - \vec{b} = (7\cdot2 - 2; 7\cdot1 - (-4)) = (14 - 2; 7 + 4) = (12; 11)$. Скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(7\vec{a} - \vec{b})$ равно: $$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15$$ 6. Дана длина вектора $\vec{a} = 2\sqrt{2}$, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $45^\circ$, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$. Найдем длину вектора $\vec{b}$. Известно, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\alpha}$, где $\alpha$ - угол между векторами. Тогда: $$12 = 2\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{45^\circ} = 2\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot |\vec{b}|$$ Отсюда $|\vec{b}| = \frac{12}{2} = 6$. 7. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = \sqrt{5}$. Найдем скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. **Допущение:** угол $A$ равен $60^\circ$. Тогда $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos{\angle A}$. Пусть $AC = \sqrt{5}$, тогда $AB = 2\sqrt{5}$. $$ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{60^\circ} = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5$$ 8. Даны векторы $\vec{a}(7; 1)$ и $\vec{b}(-1; -7)$. Найдем косинус угла между ними. $$\cos{\alpha} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{7 \cdot (-1) + 1 \cdot (-7)}{\sqrt{7^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2}} = \frac{-7 - 7}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-14}{50} = -0,28$$ 9. Вероятность того, что сумка окажется с дефектами: $P(\text{дефект}) = \frac{21}{200} = 0,105$. Вероятность того, что сумка окажется качественной: $$P(\text{качество}) = 1 - P(\text{дефект}) = 1 - 0,105 = 0,895$$ Округлим до сотых: $0,90$. 10. Вероятность того, что диаметр отличается от заданного не больше чем на 0,01 мм: $P(|x - 67| \le 0,01) = 0,965$. Нужно найти вероятность того, что диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм. Это противоположное событие: $$P(x < 66,99 \text{ или } x > 67,01) = 1 - P(66,99 \le x \le 67,01) = 1 - 0,965 = 0,035$$