Найди решение системы уравнений {log₂ x - log₂ y = 3; 4y²+x-5 = 0}

Привет! Давай решим эту систему уравнений вместе. Она выглядит немного сложно, но мы справимся! Система уравнений: $$\begin{cases} \log_2{x} - \log_2{y} = 3 \\ 4y^2 + x - 5 = 0 \end{cases}$$ Сначала упростим первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a{b} - \log_a{c} = \log_a{\frac{b}{c}}$: $$\log_2{\frac{x}{y}} = 3$$ Теперь избавимся от логарифма, представив 3 как логарифм по основанию 2: $3 = \log_2{2^3} = \log_2{8}$. Тогда уравнение станет: $$\log_2{\frac{x}{y}} = \log_2{8}$$ Так как логарифмы равны, значит, и их аргументы равны: $$\frac{x}{y} = 8$$ Выразим $x$ через $y$: $$x = 8y$$ Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$4y^2 + 8y - 5 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 4$, $b = 8$, и $c = -5$. $$D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144$$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдем их по формуле: $$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm 12}{8}$$ Получаем два значения для $y$: $$y_1 = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$$ Теперь найдем соответствующие значения для $x$, используя $x = 8y$: $$x_1 = 8 \cdot y_1 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$ $$x_2 = 8 \cdot y_2 = 8 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -20$$ Итак, решения системы уравнений: $$x_1 = 4, y_1 = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = -20, y_2 = -\frac{5}{2}$$ Теперь посмотрим на предложенные варианты ответов. Подходит вариант: Решением системы являются $x_1 = 4, x_2 = -20, y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = -\frac{5}{2}$ **Ответ: Решением системы являются $x_1 = 4, x_2 = -20, y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = -\frac{5}{2}$**