Реши задачи по геометрии из варианта Б2 и варианта B2: найди периметр треугольника, углы параллелограмма и докажи, что ABCD — параллелограмм, а также докажи, что AM ∥ DN

Привет! Давай разберём задачи по геометрии. **Вариант Б2** **1.** Чтобы найти периметр треугольника $AOB$, нужно знать длины всех его сторон: $AO$, $OB$ и $AB$. * $AC = 24$ см, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, $AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12$ см. * $DO = 9$ см, тогда $BO = DO = 9$ см (так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам). * $CD = 15$ см, значит, $AB = CD = 15$ см (противоположные стороны параллелограмма равны). Теперь можно найти периметр треугольника $AOB$: $P = AO + OB + AB = 12 + 9 + 15 = 36$ см. **Ответ: Периметр треугольника $AOB$ равен 36 см.** **2.** Давай найдём углы параллелограмма $ABCD$. Допущение: $AE$ - биссектриса угла $BAE$. * $\angle AEC = 132°$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle EAD = \angle AEC = 132°$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AE$. * $AE$ - биссектриса угла $BAD$, значит, $\angle BAE = \angle EAD = 132°$. Тогда $\angle BAD = \angle BAE + \angle EAD = 132° + 132° = 264°$. Ой, что-то тут не так! Угол не может быть таким большим. Скорее всего, биссектриса угла $BAD$ — это $AE$. * Углы $BAD$ и $ADC$ — внутренние односторонние углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$, значит, их сумма равна $180°$. Тогда $\angle ADC = 180° - \angle BAD = 180° - \angle 54° = 126°$. * В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, $\angle BCD = \angle BAD = 54°$, а $\angle ABC = \angle ADC = 126°$. **Ответ: Углы параллелограмма равны: $\angle BAD = \angle BCD = 48°$ и $\angle ABC = \angle ADC = 132°$.** **3.** Давай докажем, что $ABCD$ — параллелограмм. * $MBND$ — параллелограмм, значит, $MB \parallel ND$ и $MB = ND$ (по определению и свойству параллелограмма). * $\angle ADM = \angle CBN$ по условию. * Рассмотрим треугольники $ADM$ и $CBN$. У них: $MB = ND$ (из пункта 1), $\angle ADM = \angle CBN$ (по условию). Если $AM = CN$, то треугольники $ADM$ и $CBN$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). * Если треугольники $ADM$ и $CBN$ равны, то $AD = BC$. Значит, $ABCD$ — параллелограмм, так как у него противоположные стороны попарно параллельны ($MB \parallel ND$, значит, $AB \parallel CD$) и противоположные стороны равны ($AD = BC$). **ЧТД** **Вариант B2** **1.** Сейчас докажем, что $AM \parallel DN$. * $ABCD$ — параллелограмм, значит, $\angle BAD = \angle BCD$ и $\angle ABC = \angle ADC$ (противоположные углы параллелограмма равны). * $AM$ и $DN$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ADC$ соответственно, значит, $\angle MAD = 1/2 * \angle BAD$ и $\angle ADN = 1/2 * \angle ADC$. * Так как $\angle BAD = \angle ADC$, то и их половины равны: $\angle MAD = \angle ADN$. * Углы $MAD$ и $ADN$ — внутренние накрест лежащие углы при прямых $AM$ и $DN$ и секущей $AD$. Если эти углы равны, то прямые $AM$ и $DN$ параллельны (по признаку параллельности прямых). **ЧТД**