Реши задачи по геометрии: 28. Найди объём многогранника, у которого вершинами являются A,B,E,F правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9

28. Объём многогранника равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания равна 10, высота равна 9. Значит, объём равен $10 \cdot 9 = 90$. **Ответ: 90** 29. Объём куба можно найти, зная радиус описанной около него сферы. Если радиус сферы равен 12,5, то ребро куба равно $2R = 2 \cdot 12,5 = 25$. Тогда объём куба равен $a^3 = 25^3 = 15625$. **Ответ: 15625** 30. Площадь поверхности параллелепипеда, описанного около сферы, равна площади поверхности сферы. Площадь поверхности сферы радиуса 2,5 равна $4\pi R^2 = 4 \pi (2,5)^2 = 25\pi$. **Ответ: $25\pi$** 31. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту. Так как цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму, сторона основания призмы равна диаметру цилиндра, то есть $2R = 2 \cdot 3 = 6$. Периметр основания призмы равен $4 \cdot 6 = 24$. Высота призмы равна высоте цилиндра, то есть 3. Значит, площадь боковой поверхности призмы равна $24 \cdot 3 = 72$. **Ответ: 72** 32. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания равен $6 \cdot a$, где $a$ — сторона основания. Так как цилиндр вписан в призму, то сторона основания призмы равна радиусу цилиндра, то есть $a = R = 13$. Периметр основания призмы равен $6 \cdot 13 = 78$. Высота призмы равна 2. Значит, площадь боковой поверхности равна $78 \cdot 2 = 156$. **Ответ: 156** 33. Объём пирамиды равен $\frac{1}{3} S \cdot h$, где $S$ — площадь основания, $h$ — высота. Высота пирамиды равна 6. Так как три боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°, то площадь основания равна $S$. Значит, объём пирамиды равен $\frac{1}{3} \cdot S \cdot 6 = 2S$. **Ответ: $2S$** 34. Объём правильной шестиугольной пирамиды равен $\frac{1}{3} S \cdot h$, где $S$ — площадь основания, $h$ — высота. Площадь правильного шестиугольника со стороной 3 равна $\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{27\sqrt{3}}{2}$. Высоту пирамиды можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и половиной стороны основания. По теореме Пифагора, высота равна $\sqrt{6^2 - (3/2)^2} = \sqrt{36 - 9/4} = \sqrt{\frac{144-9}{4}} = \sqrt{\frac{135}{4}} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$. Значит, объём пирамиды равен $\frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{15}}{2} = \frac{81\sqrt{45}}{12} = \frac{81 \cdot 3\sqrt{5}}{12} = \frac{243\sqrt{5}}{12} = \frac{81\sqrt{5}}{4}$. **Ответ: $\frac{81\sqrt{5}}{4}$** 35. Площадь осевого сечения конуса равна половине произведения основания на высоту. Основание равно $2r$, где $r$ — радиус конуса. Высота равна 18. Радиус конуса можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, образующей и радиусом. По теореме Пифагора, радиус равен $\sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$. Значит, площадь осевого сечения конуса равна $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 24 \cdot 18 = 24 \cdot 18 = 432$. **Ответ: 432** 36. Площадь осевого сечения конуса равна половине произведения основания на высоту. Основание равно диаметру основания конуса, то есть 32. Высота можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, образующей и радиусом. Радиус основания равен половине диаметра, то есть 16. По теореме Пифагора, высота равна $\sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$. Значит, площадь осевого сечения равна $\frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192$. **Ответ: 192**