Помоги мне решить уравнение (х – 1)(x - 7)(x - 4)(x + 2) = 40

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Оно выглядит страшновато, но мы справимся! Сначала перемножим скобки попарно, чтобы упростить выражение: $(x - 1)(x - 7) = x^2 - 8x + 7$ $(x - 4)(x + 2) = x^2 - 2x - 8$ Теперь уравнение выглядит так: $(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 2x - 8) = 40$ Заметим, что если немного преобразовать, можно прийти к одинаковым выражениям. Давай сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 5x$. Тогда: $x^2 - 8x + 7 = (x^2 - 5x) - 3x + 7 = y - 3x + 7$ $x^2 - 2x - 8 = (x^2 - 5x) + 3x - 8 = y + 3x - 8$ Теперь уравнение такое: $(y - 3x + 7)(y + 3x - 8) = 40$ Раскрываем скобки: $y^2 + 3xy - 8y - 3xy - 9x^2 + 24x + 7y + 21x - 56 = 40$ Упрощаем: $y^2 - y - 9x^2 + 45x - 56 = 40$ Переносим всё в одну сторону: $y^2 - y - 9x^2 + 45x - 96 = 0$ Теперь надо вернуться к переменной $x$ и решить получившееся уравнение. Заменим $y$ обратно на $x^2 - 5x$: $(x^2 - 5x)^2 - (x^2 - 5x) - 9x^2 + 45x - 96 = 0$ Раскрываем скобки: $x^4 - 10x^3 + 25x^2 - x^2 + 5x - 9x^2 + 45x - 96 = 0$ Приводим подобные члены: $x^4 - 10x^3 + 15x^2 + 50x - 96 = 0$ Это уравнение четвертой степени, и решить его не так просто. Здесь нужно попробовать найти корни подбором или с использованием специальных методов (например, теоремы Безу или метода Феррари). Но давай попробуем подобрать корни. Допустим, $x = 2$: $2^4 - 10 \cdot 2^3 + 15 \cdot 2^2 + 50 \cdot 2 - 96 = 16 - 80 + 60 + 100 - 96 = 0$ Значит, $x = 2$ - корень. Теперь можно разделить многочлен на $(x - 2)$, чтобы понизить степень уравнения. Но это довольно сложно и долго. Есть другой путь! Заметим, что если перемножить скобки $(x – 1)(x - 7)(x - 4)(x + 2)$ как-то по-другому, можно получить более простое выражение. Попробуем так: $(x - 1)(x - 4)(x - 7)(x + 2)$. $(x - 1)(x - 4) = x^2 - 5x + 4$ $(x - 7)(x + 2) = x^2 - 5x - 14$ Теперь уравнение выглядит так: $(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x - 14) = 40$ Делаем замену: $z = x^2 - 5x$. Тогда уравнение становится: $(z + 4)(z - 14) = 40$ Раскрываем скобки: $z^2 - 14z + 4z - 56 = 40$ $z^2 - 10z - 96 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $z$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484$ $z_1 = \frac{10 + \sqrt{484}}{2} = \frac{10 + 22}{2} = 16$ $z_2 = \frac{10 - \sqrt{484}}{2} = \frac{10 - 22}{2} = -6$ Теперь возвращаемся к переменной $x$: 1) $x^2 - 5x = 16$ $x^2 - 5x - 16 = 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 25 + 64 = 89$ $x_1 = \frac{5 + \sqrt{89}}{2}$ $x_2 = \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$ 2) $x^2 - 5x = -6$ $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0$ $x_3 = 2$ $x_4 = 3$ **Ответ:** $x_1 = \frac{5 + \sqrt{89}}{2}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$, $x_3 = 2$, $x_4 = 3$ Вот и всё! Уравнение решено. Если что-то непонятно, спрашивай!