Конечно, давай решим эти неравенства!
6. Чтобы решить неравенство $\frac{(x + 3)(x-8)}{x(5 - x)} \ge 0$, нужно найти значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю.
* Сначала найдем нули числителя и знаменателя:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$
$x = 0$
$5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$
* Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале. Важно помнить, что точки, где знаменатель равен нулю (в данном случае $x = 0$ и $x = 5$), исключаются из решения, так как на ноль делить нельзя.
* Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; -3]$, $[-3; 0)$, $(0; 5)$, $(5; 8]$, $[8; +\infty)$.
* Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Учитываем, что точки $-3$ и $8$ включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
**Ответ:** $x \in [-3; 0) \cup (5; 8]$
7. Для неравенства $\frac{(x-1)^2(x + 2)}{(x-3)^3(x + 1)} \ge 0$:
* Находим нули числителя и знаменателя:
$(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ (важно, что эта точка встречается дважды, то есть это корень четной кратности)
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
$(x - 3)^3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
* Отмечаем точки на числовой прямой. Точки, где знаменатель равен нулю ($x = 3$ и $x = -1$), исключаем.
* Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; -2]$, $[-2; -1)$, $(-1; 1]$, $[1; 3)$, $(3; +\infty)$.
* Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Точку $x = 1$ нужно проверить отдельно, так как это корень четной кратности. В данном случае, при $x = 1$ выражение равно нулю, поэтому $x = 1$ включается в решение.
**Ответ:** $x \in [-2; -1) \cup \{1\} \cup (3; +\infty)$
8. Для неравенства $\frac{(x+4)(x-1)^3}{x^4(x-5)^2} \le 0$:
* Находим нули числителя и знаменателя:
$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$
$(x - 1)^3 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x^4 = 0 \Rightarrow x = 0$ (корень четной кратности)
$(x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5$ (корень четной кратности)
* Отмечаем точки на числовой прямой. Точки, где знаменатель равен нулю ($x = 0$ и $x = 5$), исключаем.
* Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; -4]$, $[-4; 0)$, $(0; 1]$, $[1; 5)$, $(5; +\infty)$.
* Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Точки $0$ и $5$ исключаются, так как они являются корнями знаменателя. Точку $x = 1$ включаем, так как при $x = 1$ выражение равно нулю.
**Ответ:** $x \in [ -4; 0) \cup (0; 1]$
9. Для неравенства $\frac{x^2-5x+6}{1-x} < 0$:
* Разложим числитель на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
* Тогда неравенство можно переписать как $\frac{(x - 2)(x - 3)}{1 - x} < 0$.
* Находим нули числителя и знаменателя:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
* Отмечаем точки на числовой прямой и проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.
* Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.
**Ответ:** $x \in (1; 2) \cup (3; +\infty)$
