Реши примеры из варианта 2: определи, при каких значениях алгебраическая дробь имеет смысл, сократи дробь, выполни действия, построй график функции, сократи дробь

# 1. a) Давай посмотрим, при каком значении $x$ алгебраическая дробь $\frac{13}{x-4}$ имеет смысл. Чтобы дробь имела смысл, нужно, чтобы её знаменатель не был равен нулю. То есть, надо решить такое уравнение: $$x - 4 \neq 0$$ $$x \neq 4$$ Значит, при $x = 4$ дробь не имеет смысла. При всех остальных значениях $x$ она определена. # 2. a) Сейчас сократим дробь $\frac{15xy^4}{10x^3y^2}$. Сначала разделим числитель и знаменатель на 5: $$\frac{15xy^4}{10x^3y^2} = \frac{3xy^4}{2x^3y^2}$$ Теперь сократим $x$ и $y$: $$\frac{3xy^4}{2x^3y^2} = \frac{3y^2}{2x^2}$$ # 3. a) Выполним действие $\frac{4}{x} + \frac{5x-4}{x+2}$. Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $x(x+2)$. Домножим первую дробь на $(x+2)$, а вторую на $x$: $$\frac{4}{x} + \frac{5x-4}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x(x+2)} + \frac{x(5x-4)}{x(x+2)}$$ Теперь сложим числители: $$\frac{4(x+2) + x(5x-4)}{x(x+2)} = \frac{4x+8 + 5x^2-4x}{x(x+2)}$$ Упростим числитель: $$\frac{5x^2+8}{x(x+2)}$$ # 4. Здесь тебе нужно построить график функции $y = \frac{9x^2-1}{3x-1} - \frac{2x^2+x}{x}$. $$y = \frac{(3x-1)(3x+1)}{3x-1} - \frac{x(2x+1)}{x} = 3x+1 - (2x+1) = x$$ # 5. Сократим дробь $\frac{x^2+7x+6}{x^2-3x-4}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $x^2+7x+6$ найдем корни: $$x^2+7x+6 = 0$$ $$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6$$ Значит, $x^2+7x+6 = (x+1)(x+6)$. Для знаменателя $x^2-3x-4$ найдем корни: $$x^2-3x-4 = 0$$ $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$$ Значит, $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$. Теперь сократим дробь: $$\frac{x^2+7x+6}{x^2-3x-4} = \frac{(x+1)(x+6)}{(x-4)(x+1)} = \frac{x+6}{x-4}$$ **Ответ:** 1. a) $x \neq 4$ 2. a) $\frac{3y^2}{2x^2}$ 3. a) $\frac{5x^2+8}{x(x+2)}$ 4. $y = x$ 5. $\frac{x+6}{x-4}$