Помоги найти квадрат длины вектора 3a + b - c, значение выражения (2a + b) * 3c и скалярное произведение a * b

3. Давай найдём квадрат длины вектора $3\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$. Сначала определим координаты векторов: $\vec{a} = (4, 8)$; $\vec{b} = (6, -2)$; $\vec{c} = (0, -4)$. Теперь найдём вектор $3\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$: $$3\vec{a} = 3 \cdot (4, 8) = (12, 24)$$ $$3\vec{a} + \vec{b} = (12, 24) + (6, -2) = (18, 22)$$ $$3\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = (18, 22) - (0, -4) = (18, 26)$$ Квадрат длины вектора $(18, 26)$ равен: $$(18^2 + 26^2) = 324 + 676 = 1000$$ **Ответ: 1000** 4. Давай найдём значение выражения $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot 3\vec{c}$. Сначала определим координаты векторов: $\vec{a} = (1, 2)$; $\vec{b} = (5, 1)$; $\vec{c} = (1, -2)$. Теперь найдём вектор $2\vec{a} + \vec{b}$: $$2\vec{a} = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4)$$ $$2\vec{a} + \vec{b} = (2, 4) + (5, 1) = (7, 5)$$ Теперь найдём вектор $3\vec{c}$: $$3\vec{c} = 3 \cdot (1, -2) = (3, -6)$$ Скалярное произведение $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot 3\vec{c}$ равно: $$(7, 5) \cdot (3, -6) = (7 \cdot 3 + 5 \cdot (-6)) = 21 - 30 = -9$$ **Ответ: -9** 5. Давай найдём скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Длины векторов равны $|\vec{a}| = 7\sqrt{3}$ и $|\vec{b}| = 4$, а угол между ними $\alpha = 150^\circ$. Скалярное произведение равно: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) = 7\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos(150^\circ)$$ Т.к. $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $$7\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -7 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = -28 \cdot \frac{3}{2} = -14 \cdot 3 = -42$$ **Ответ: -42**